1966年第08届IMO试题

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  二试几何部分

略

证法一
过这个正四面体的各个顶点作对面的平行平面，围得一个大的正四面体．任一点 $P$ 到原四面体各个顶点的距离和 $\displaystyle \sum$ 不小于 $P$ 到大四面体的各个面的距离和 $\displaystyle \sum^\prime$（仅当 $P$ 与顶点联线与大四面体对面均垂直时，等号成立，此时仅有外接球球心满足要求）．
由于 $\displaystyle \dfrac{1}{3}\sum^\prime$ 与大四面体一面面积之积为大四面体的体积，因此 $\displaystyle \sum^\prime$ 就是大四面体的高 $h$（当 $P$ 在大四面体之外时，$\displaystyle \sum^\prime>h$），于是 $\displaystyle \sum>h$（常数），命题成立．
证法二
首先利用一个比较简单的引理，即：$\triangle P^\prime CD$ 满足 $P^\prime C=P^\prime D$，过 $P^\prime$ 作直线&l&平行于 $CD$，$P$ 是 $l$ 上不同于 $P^\prime$ 的任一点，则有 $P^\prime C+P^\prime D<PC+PD$．
然后，利用正四面体中心 $O$ 是过一棱和其对棱中点的平面（一共有六个这样的平面）的交点这一特性，我们将会指出，如果点 $P$ 不在这些平面之一上（即如果它不是中心 $O$），则距离之和 $\displaystyle \sum$ 就不是最小．由此可以得出结论，这个方法是局部调整法．
设正四面体为 $ABCD$，$E$ 为 $CD$ 中点，若 $P$ 不在平面 $ABE$ 上．设 $l$ 为过 $P$ 且平行于 $CD$ 的直线，易知 $l$ 垂直于平面 $ABE$，且设 $P^\prime$ 为 $l$ 和 $\triangle ABE$ 的交点（一定存在，为什么？），则由引理及 $P^\prime C=P^\prime D$ 知 $P^\prime C+P^\prime D<PC+PD$．
又 $PA,PB$ 分别是直角三角形 $APP^\prime$ 与 $BPP^\prime$ 的斜边，因此 $P^\prime A<PA,P^\prime B<PB$，把这三个不等式均加起来，便得 $P^\prime A+P^\prime B+P^\prime C+P^\prime D<PA+PB+PC+PD$．因此结论成立．