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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20380 5ca4147d210b281080bfd872 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{n}}\left( n\geqslant 2 \right)$ 是 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的任意一个排列。求证：$\frac{1}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}+\frac{1}{{{P}_{2}}+{{P}_{3}}}+\cdots +\frac{1}{{{P}_{n-2}}+{{P}_{n-1}}}+\frac{1}{{{P}_{n-1}}+{{P}_{n}}}\text{}\frac{n-1}{n+2}$ 2022-04-17 19:16:59
20376 5ca41c5d210b281080bfd8b3 高中 解答题 自招竞赛 某班有 $47$ 个学生，所用教室有 $6$ 排，每排有 $8$ 个座位，用 $\left( i\text{,}j \right)$ 表示位于第 $i$ 排第 $j$ 列的座位。新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 $\left( i\text{,}j \right)$，如果调整后的座位为 $\left( m,n \right)$，则称该生作了移动 $\left[ a\text{,}b \right]\text{=}\left[ i-m\text{,}j-n \right]$，并称为该生的位置数。所有学生的位置数之和记为 $S$ 。求 $S$ 的最大可能值与最小可能值之差。 2022-04-17 19:13:59
20374 5ca41c79210b281080bfd8c4 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n\left( n\geqslant 2 \right)$ 。求最大的实数 $\lambda $，使得不等式 ${{a}_{n}}^{2}\geqslant \lambda \left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n-1}} \right)+2{{a}_{n}}$ 对任何满足 ${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{n}}$ 的正整数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}}$ 均成立 2022-04-17 19:12:59
20367 5ca312aa210b280b2256c1e8 高中 解答题 自招竞赛 解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$ 2022-04-17 19:08:59
20365 5ca4282b210b281080bfd922 高中 解答题 自招竞赛 求出所有的正实数 $a$，使得存在正整数 $n$ 及 $n$ 个互不相交的无限整数集合 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots \text{,}{{A}_{n}}$ 满足 ${{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}\bigcup \cdots \bigcup {{A}_{n}}\text{=}\mathbb{Z}$，而且对于每个 ${{A}_{i}}$ 中的任意两数 $b\text{}c$，都有 $b-c\geqslant {{a}^{i}}$ 。 2022-04-17 19:06:59
20352 5ca5a667210b28107f52ab5e 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\left( n>3 \right)$，非负实数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}}$ 满足 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}\text{=}2$ 。求 $\frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots +\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+1}$ 的最小值。 2022-04-17 19:59:58
20349 5ca5a675210b281080bfd9f5 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a\text{,}b\text{,}c\geqslant 0$，$a+b+c\text{=}1$ 。求证：$\sqrt{a+\frac{1}{4}{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant \sqrt{3}$ 。 2022-04-17 19:57:58
20325 5cac179a210b2866bc0145fb 高中 解答题 自招竞赛 （1）问能否将集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,96} \right\}$ 表示为它的 $32$ 个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}99 \right\}$ 表示为它的 $33$ 个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等 2022-04-17 19:43:58
20315 5cac2761210b2866bb0a6988 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{a}_{n}}\text{=}n\sqrt{5}-\left[ n\sqrt{5} \right]$ 。求数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{2009}}$ 中的最大项和最小项，其中 $\left[ x \right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。 2022-04-17 19:38:58
20314 5cac2d43210b28193dc2e8e5 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$，设 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{2n}}$ 是集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right\}$ 的两两不同的非空子集，记 ${{A}_{2n+1}}\text{=}{{A}_{1}}$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{2n}{\frac{\left| {{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|}{\left| {{A}_{i}} \right|\cdot \left| {{A}_{i+1}} \right|}}$ 的最大值。 2022-04-17 19:37:58
20311 5cac2d6b210b28193dc2e8f5 高中 解答题 自招竞赛 设实数 ${{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{x}_{n}}$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{x_{i}^{2}\text{=}1\left( n\geqslant 2 \right)}$ 。求证：$\displaystyle \sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{{{\left( 1-\frac{k}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{ix_{i}^{2}}} \right)}^{2}}}\frac{x_{k}^{2}}{k}\leqslant {{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{2}}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\frac{x_{k}^{2}}{k}}$，并确定等号成立的条件。 2022-04-17 19:35:58
20310 5cac2d70210b28193dc2e8fa 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)\text{,}g\left( x \right)$ 都是定义在 $\mathbb{R}$ 上的递增的一次函数，$f\left( x \right)$ 为整数当且仅当 $g\left( x \right)$ 为整数。证明：对一切 $x\in \mathbb{R}$，$f\left( x \right)-g\left( x \right)$ 为整数。 2022-04-17 19:35:58
20303 5cac35d5210b28193dc2e942 高中 解答题 自招竞赛 给定非负实数 $\alpha $ 。求最小实数 $\lambda =\lambda (\alpha )$，使得对任意复数 ${{z}_{1}}$、${{z}_{2}}$ 和实数 $x\in [0,1]$，若 $\left| {{z}_{1}} \right|\leqslant \alpha \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$，则 $\left| {{z}_{1}}-x{{z}_{2}} \right|\leqslant \lambda \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ 。 2022-04-17 19:32:58
20286 5caeb5bc210b28021fc75439 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{n}}$ 均为非负整数，求证：$\frac{1}{1+{{a}_{1}}}+\frac{{{a}_{1}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})}+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})(1+{{a}_{3}})}+\cdots+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n-1}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})\cdots(1+{{a}_{n}})}\leqslant 1$ 2022-04-17 19:23:58
20277 5caecd69210b280220ed1c17 高中 解答题 自招竞赛 记 $\left[ x \right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。设 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb{R}$，且 $\left[ {{x}_{1}} \right],\left[ {{x}_{2}} \right],\cdots ,\left[ {{x}_{n}} \right]$ 为 $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列，其中 $n\geqslant 2$ 为给定整数。求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n-1}{\left[ {{x}_{i+1}}-{{x}_{i}} \right]}$ 的最大值和最小值。 2022-04-17 19:18:58
20274 5caecd86210b280220ed1c2d 高中 解答题 自招竞赛 对有限非空实数集 $X$，记 $X$ 的元素个数为 $\left| X \right|$，均有 $\displaystyle f(X)=\frac{1}{\left| X \right|}\sum\limits_{a\in X}{a}$ 。集合对 $(A,B)$ 满足 $A\bigcup B=\{1,2,\cdots ,100\}$，$A\bigcap B=\varnothing $ 且。 $1\leqslant \left| A \right|\leqslant 98$ 。任取 $p\in B$，令 ${{A}_{p}}=A\bigcup \{p\}$，${{B}_{p}}=\{x\left| x\in B,x\ne p \right.\}$ 。对所有满足上述条件的集合对 $(A,B)$ 与 $p\in B$，求 $(f({{A}_{p}})-f(A))(f({{B}_{p}})-f(B))$ 的最大值。 2022-04-17 19:18:58
20270 5caeda0e210b280220ed1c66 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots,{{x}_{n}}\in (0,1)$，$n\geqslant 2$．求证：
$\frac{\sqrt{1-{{x}_{1}}}}{{{x}_{1}}}+\frac{\sqrt{1-{{x}_{2}}}}{{{x}_{2}}}+\cdots+\frac{\sqrt{1-{{x}_{n}}}}{{{x}_{n}}}<\frac{\sqrt{n-1}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}\cdots{{x}_{n}}}$．		 2022-04-17 19:16:58
19959 5ce4eb30210b28021fc765e3 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，$a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$，$A,B$ 均为正实数，满足 $a_i\leqslant b_i,a_i\leqslant A,i=1,2,\cdots,n$，且 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}\leqslant\dfrac{B}{A}$．
证明：$\dfrac{(b_1+1)(b_2+1)\cdots(b_n+1)}{(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)}\leqslant\dfrac{B+1}{A+1}$．		 2022-04-17 19:16:55
19955 5ce63863210b28021fc76687 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 是实数，函数 $f(x)=ax+b+\dfrac{9}{x}$．证明：存在 $x_0\in[1,9]$，使得 $|f(x_0)|\geqslant 2$． 2022-04-17 19:15:55
19932 5cecf882210b28021fc76996 高中 解答题 自招竞赛 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1$ 的任意非负实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，有不等式 $a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n} \geqslant a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2}$ 成立．请证明上述命题及其逆命题． 2022-04-17 19:00:55
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