对有限非空实数集 $X$，记 $X$ 的元素个数为 $\left| X \right|$，均有 $\displaystyle f(X)=\frac{1}{\left| X \right|}\sum\limits_{a\in X}{a}$ 。集合对 $(A,B)$ 满足 $A\bigcup B=\{1,2,\cdots ,100\}$，$A\bigcap B=\varnothing $ 且。 $1\leqslant \left| A \right|\leqslant 98$ 。任取 $p\in B$，令 ${{A}_{p}}=A\bigcup \{p\}$，${{B}_{p}}=\{x\left| x\in B,x\ne p \right.\}$ 。对所有满足上述条件的集合对 $(A,B)$ 与 $p\in B$，求 $(f({{A}_{p}})-f(A))(f({{B}_{p}})-f(B))$ 的最大值。
【难度】
【出处】
2014第13届CGMO试题
【标注】
【答案】
$\frac{625}{196}$
【解析】
记 $S=\left( f({{A}_{p}})-f(A)\right)\left( f({{B}_{p}})-f(B) \right)$ 。由 $f$ 的定义及题目所给条件知
$\left( \left| A \right|+1 \right)f({{A}_{p}})=\left| A\right|f(A)+p$，
$\left( \left| B \right|-1 \right)f({{B}_{p}})=\left| B\right|f(B)-p$ 。
知 $S=\left( \frac{\left| A \right|f(A)+p}{\left| A\right|+1}-f(A) \right)\cdot \left( \frac{\left| B \right|f(B)-p}{\left| B\right|-1}-f(B) \right)=\frac{(p-f(A))(f(B)-p)}{(\left| A \right|+1)(\left| B\right|-1)}$（1）
及 $S=\left[ f({{A}_{p}})-\frac{(\left| A\right|+1)f({{A}_{p}})-p}{\left| A \right|} \right]\cdot \left[f({{B}_{p}})-\frac{(\left| B \right|-1)f({{B}_{p}})+p}{\left| B \right|}\right]=\frac{(p-f({{A}_{p}}))(f({{B}_{p}})-p)}{\left| A \right|\left| B\right|}$（2）
接下来证明：$\left| f(A)-f(B) \right|\leqslant 50$，$\left| f({{A}_{p}})-f({{B}_{p}}) \right|\leqslant 50$，且 $S\leqslant \frac{625}{196}$ 。
事实上，注意到，$\left| A \right|+\left| B \right|=100$ 。
故
$\begin{align}
& f(A)-f(B)\leqslant\frac{100+99+\cdots +(\left| B \right|+1)}{\left| A \right|}-\frac{1+2+\cdots+\left| B \right|}{\left| B \right|} \\
&=\frac{100+(\left| B \right|+1)}{2}-\frac{1+\left| B \right|}{2} \\
& =50
\end{align}$
$\begin{align}
& f(A)-f(B) \\
& \geqslant\frac{1+2+\cdots +\left| A \right|}{\left| A \right|}-\frac{100+99+\cdots+(\left| A \right|+1)}{\left| B \right|} \\
&=\frac{1+\left| A \right|}{2}-\frac{100+(\left| A \right|+1)}{2}=-50 \\
\end{align}$
因此，$\left| f(A)-f(B) \right|\leqslant 50$ 。同理，由 $\left| {{A}_{p}} \right|+\left| {{B}_{p}} \right|=100$，得 $\left| f({{A}_{p}})-f({{B}_{p}}) \right|\leqslant 50$
当 $1\leqslant \left| A \right|\leqslant 97$ 时，由 $(p-f(A))(f(B)-p)\leqslant{{\left( \frac{f(B)-f(A)}{2} \right)}^{2}}\leqslant 625$
且 $(\left| A \right|+1)(\left| B \right|-1)\geqslant 2\times98=196$，故由式（1）知 $S=\frac{(p-f(A))(f(B)-p)}{(\left|A \right|+1)(\left| B \right|-1)}\leqslant \frac{625}{196}$
当 $\left| A \right|=98$ 时，根据式（2）知
$S=\frac{(p-f({{A}_{p}}))(f(B)-p)}{98\times 2}\leqslant\frac{1}{196}{{\left( \frac{f({{B}_{p}})-f({{A}_{p}})}{2} \right)}^{2}}\leqslant\frac{625}{196}$
另一方面，在 $A=\{1\}$，$B=\{2,3,\cdots,100\}$ 且 $p=26$ 的情形下，可由式（1）验证得
$S=\frac{(26-1)(51-26)}{2\times 98}=\frac{625}{196}$，从而，$S$ 的最大值为 $\frac{625}{196}$
$\left( \left| A \right|+1 \right)f({{A}_{p}})=\left| A\right|f(A)+p$，
$\left( \left| B \right|-1 \right)f({{B}_{p}})=\left| B\right|f(B)-p$ 。
知 $S=\left( \frac{\left| A \right|f(A)+p}{\left| A\right|+1}-f(A) \right)\cdot \left( \frac{\left| B \right|f(B)-p}{\left| B\right|-1}-f(B) \right)=\frac{(p-f(A))(f(B)-p)}{(\left| A \right|+1)(\left| B\right|-1)}$（1）
及 $S=\left[ f({{A}_{p}})-\frac{(\left| A\right|+1)f({{A}_{p}})-p}{\left| A \right|} \right]\cdot \left[f({{B}_{p}})-\frac{(\left| B \right|-1)f({{B}_{p}})+p}{\left| B \right|}\right]=\frac{(p-f({{A}_{p}}))(f({{B}_{p}})-p)}{\left| A \right|\left| B\right|}$（2）
接下来证明：$\left| f(A)-f(B) \right|\leqslant 50$，$\left| f({{A}_{p}})-f({{B}_{p}}) \right|\leqslant 50$，且 $S\leqslant \frac{625}{196}$ 。
事实上，注意到，$\left| A \right|+\left| B \right|=100$ 。
故
$\begin{align}
& f(A)-f(B)\leqslant\frac{100+99+\cdots +(\left| B \right|+1)}{\left| A \right|}-\frac{1+2+\cdots+\left| B \right|}{\left| B \right|} \\
&=\frac{100+(\left| B \right|+1)}{2}-\frac{1+\left| B \right|}{2} \\
& =50
\end{align}$
$\begin{align}
& f(A)-f(B) \\
& \geqslant\frac{1+2+\cdots +\left| A \right|}{\left| A \right|}-\frac{100+99+\cdots+(\left| A \right|+1)}{\left| B \right|} \\
&=\frac{1+\left| A \right|}{2}-\frac{100+(\left| A \right|+1)}{2}=-50 \\
\end{align}$
因此，$\left| f(A)-f(B) \right|\leqslant 50$ 。同理，由 $\left| {{A}_{p}} \right|+\left| {{B}_{p}} \right|=100$，得 $\left| f({{A}_{p}})-f({{B}_{p}}) \right|\leqslant 50$
当 $1\leqslant \left| A \right|\leqslant 97$ 时，由 $(p-f(A))(f(B)-p)\leqslant{{\left( \frac{f(B)-f(A)}{2} \right)}^{2}}\leqslant 625$
且 $(\left| A \right|+1)(\left| B \right|-1)\geqslant 2\times98=196$，故由式（1）知 $S=\frac{(p-f(A))(f(B)-p)}{(\left|A \right|+1)(\left| B \right|-1)}\leqslant \frac{625}{196}$
当 $\left| A \right|=98$ 时，根据式（2）知
$S=\frac{(p-f({{A}_{p}}))(f(B)-p)}{98\times 2}\leqslant\frac{1}{196}{{\left( \frac{f({{B}_{p}})-f({{A}_{p}})}{2} \right)}^{2}}\leqslant\frac{625}{196}$
另一方面，在 $A=\{1\}$，$B=\{2,3,\cdots,100\}$ 且 $p=26$ 的情形下，可由式（1）验证得
$S=\frac{(26-1)(51-26)}{2\times 98}=\frac{625}{196}$，从而，$S$ 的最大值为 $\frac{625}{196}$
答案
解析
备注
