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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20907 5c6f9644210b280151d74a6c 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$\angle A=60{}^\circ $，$\angle B=45{}^\circ $．$\angle A$ 的角平分线交 $BC$ 于点 $T$，且 $AT=24$．$\vartriangle ABC$ 的面积可以写成 $a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:06:04
20856 5c6fb696210b28428f14c98a 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{1}}$ 和圆 ${{C}_{2}}$ 相交于两点，其中一点的坐标为 $\left( 9 ,6 \right)$，两圆半径的乘积等于68．$x$ 轴和直线 $y=mx$ 都与两圆相切，其中 $m>0$．已知 $m$ 可以表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，$b$ 不能被任何素数的平方整除，$a$，$c$ 互素．试求 $a+b+c$ 的值． 2022-04-17 20:39:03
20849 5c749db5210b28428f14cada 高中 解答题 自招竞赛 线段 $AC$ 上有一点 $B$，$AB=9$，$BC=21$．点 $D$ 不在线段 $AC$ 上，满足 $AD=CD$，且线段 $AD BD$ 的长度均为整数．设 $S$ 为 $\vartriangle ACD$ 周长所有可能值之和，求 $S$． 2022-04-17 20:35:03
20846 5c749dcb210b284290fc2254 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=BC$，$\angle ACB=106{}^\circ $，三角形内一点 $M$ 满足 $\angle MAC=7{}^\circ $，$\angle MCA=23{}^\circ $，求 $\angle CMB$ 的度数． 2022-04-17 20:34:03
20844 5c749ddf210b284290fc2262 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle C$，$AB=CD=180$，$AD\ne BC$，若四边形周长为640，求 $\left[ 1000\cos A \right]$（$\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）． 2022-04-17 20:32:03
20836 5c74ab91210b28428f14cb2e 高中 解答题 自招竞赛 已知在菱形 $ABCD$ 中，$\vartriangle ABD$ 与 $\vartriangle ACD$ 的外接圆半径分别为 $12.5$ 与25．求菱形 $ABCD$ 的面积． 2022-04-17 20:27:03
20830 5c74abcb210b284290fc22cb 高中 解答题 自招竞赛 设 $A\left( 0 ,0 \right) B\left( b ,2 \right)$ 为坐标平面上的点，凸六边形 $ABCDEF$ 的各边长度相等，$AB\parallel DE BC\parallel EF CD\parallel FA$，$\angle FAB=120{}^\circ $，六个顶点的纵坐标分别为 $0,2 ,4 ,6 ,8, 10$（不一定按照顺序）．这个六边形的面积可以表示为 $m\sqrt{n}$，其中 $m n$ 为正整数，$n$ 不能被任何素数的平方整除，求 $m+n$． 2022-04-17 20:25:03
20778 5c74fe64210b28428f14cc73 高中 解答题 自招竞赛 在四变形 $ABCD$ 中，$\angle B={{90}^{\circ }}$，$AC\bot CD$，$AB=18$，$BC=21$，$CD=14$ 。试求该四边形的周长。 2022-04-17 20:55:02
20766 5c74fed4210b28428f14cc8a 高中 解答题 自招竞赛 三脚架每根支架5英尺长，当三脚架架起的时候，任三根支架所成的角相等，三脚架的顶端距地面4英尺，在一次架设的过程中，其中一根支架短了1英尺。令 $h$ 为损坏的三脚架架起时到地面的距离，已知 $h$ 可写成 $\frac{m}{\sqrt{n}}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任意素数的平方整除。试求 $\left\lfloor m+\sqrt{n} \right\rfloor $ 的值。（记 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 为小于或等于 $x$ 的最大整数） 2022-04-17 20:48:02
20753 5c75f117210b28428f14cce5 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\vartriangle ABC$ 的外接圆半径为2。延长 $AB$ 到 $D$，使得 $AD=13$，延长 $AC$ 到 $E$，使得 $AE=11$ 。过 $D$ 作 $\vartriangle ABC$ 的平行线 ${{l}_{1}}$，过 $E$ 作 $AD$ 的平行线 ${{l}_{2}}$ 。设 $F$ 是 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$ 的交点，直线 $AF$ 交 $\vartriangle ABC$ 的外接圆于另一点 $G$ 。若 $\vartriangle CGB$ 的面积可以表示为 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$，其中 $p q r$ 为正整数，$p$ 与 $r$ 互素，且 $q$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:42:02
20750 5c75f12c210b28428f14ccf0 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x y z$ 满足
$x=\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{16}}+\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{16}}$，
$y\text{=}\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{25}}+\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{25}}$，
$z=\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{36}}+\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{36}}$ 。
记 $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$，其中 $m n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $m+n$ 得值。		 2022-04-17 20:41:02
20741 5c75fa00210b284290fc24ba 高中 解答题 自招竞赛 在等腰三角形 $ABC$ 中，点 $A$ 是直角坐标系的原点，点 $B$ 的坐标为 $\left( 20 ,0 \right)$，点 $C$ 在第一象限，且满足 $AC=BC$ 及 $\angle BAC={{75}^{\circ }}$ 。将这个三角形以 $A$ 为旋转中心逆时针旋转，直到 $C$ 点落到 $y$ 轴正半轴上为止。若此时的三角形与原三角形的公共面积为 $p\sqrt{2}+q\sqrt{3}+r\sqrt{6}+s$，其中 $p$，$q$，$r$，$s$ 是整数，求 $\frac{p-q+r-s}{2}$ 的值。 2022-04-17 20:36:02
20739 5c75fa19210b284290fc24c6 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABC$ 是一个等边三角形，$D$ 和 $F$ 分别是 $BC$ 和 $AB$ 上的点，并满足以 $FA=5$ 及 $CD=2$，点 $E$ 在边 $CA$ 以上，且满足 $\angle DEF={{60}^{\circ }}$ 。已知三角形 $DEF$ 的面积为 $14\sqrt{3}$ 。若边 $AB$ 长的两个可能值为 $p\pm q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$ 是有理数，$r$ 是一个不被任何素数的平方整除的整数。求 $r$ 。 2022-04-17 20:35:02
20727 5c760040210b28428f14cd6a 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 的内部有四个半径相同的圆 $w$，${{w}_{A}}$，${{w}_{B}}$，${{w}_{C}}$，其中 ${{w}_{A}}$ 与边 $AB$，$AC$ 相切，${{w}_{B}}$ 与边 $BC$，$BA$ 相切，${{w}_{C}}$ 与边 $CA$，$CA$ 相切，$w$ 与，${{w}_{A}}$，${{w}_{B}}$，${{w}_{C}}$ 均外切。 $\vartriangle ABC$ 的三边长分别为 $13$，$14$，$15$ 。若 $w$ 的半径可表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数。试求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:29:02
20717 5c761a9f210b28428f14cd97 高中 解答题 自招竞赛 在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，下底 $AD$ 上的底角是 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$，对角线长为 $10\sqrt{21}$．平面上一点 $E$ 满足 $EA=10\sqrt{7}$，$ED=30\sqrt{7}$．作 $CF\bot AD$ 于 $F$．线段 $EF$ 的长度可以表示为 $m\sqrt{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除．求 $m+n$． 2022-04-17 20:22:02
20713 5c761ac1210b284290fc2520 高中 解答题 自招竞赛 ⊙ $\omega $ 的直径为 $AB$，延长 $BA$ 到 $C$，过 $C$ 作 $CT$ 切⊙ $\omega $ 于 $T$，作 $AP\bot CT$ 于 $P$，设 $AB=18$，$m$ 表示线段 $BP$ 长度的最大值．求 ${{m}^{2}}$． 2022-04-17 20:20:02
20689 5c763c7f210b28428f14ce35 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=10$，$BC=14$，$CA=16$．$D$ 是线段 $BC$ 上一点，${{I}_{B}}$，${{I}_{C}}$ 分别是 $\vartriangle ABD$，$\vartriangle ACD$ 的内心．$\vartriangle B{{I}_{B}}D$，$\vartriangle C{{I}_{C}}D$ 的外接圆交于两不同点 $P$，$Q$．$\vartriangle BPC$ 的面积的最大值可以表示为 $a-b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a b c$ 都是正整数且 $c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:05:02
20685 5c77427b210b28428f14ce46 高中 解答题 自招竞赛 等边三角形 $T$ 内接于半径为10的圆 $A$，半径为3的圆 $B$ 与圆 $A$ 内切三角形 $T$ 的一个顶点处，半径都为2的圆 $C$ 和圆 $D$ 与圆 $A$ 内切于三角形 $T$ 的另外两个顶点处，圆 $B$、圆 $C$ 和圆 $D$ 都与半径为 $\frac{m}{n}$ 的圆 $E$ 外切，其中 $m$，$n$ 是互素的整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:03:02
20679 5c7742b8210b28428f14ce71 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{0}}=1$ 且 ${{a}_{n\text{+}1}}\text{=}\frac{8}{5}{{a}_{n}}+\frac{6}{5}\sqrt{{{4}^{n}}-a_{n}^{2}}$ 对所有的 $n\geqslant 0$ 均成立．求小于等于 ${{a}_{10}}$ 的最大整数． 2022-04-17 20:00:02
20665 5c774cdb210b28428f14cec7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=12$，$BC=13$，$AC=15$，$M$ 为 $AC$ 边上的一点，使得 $\vartriangle ABM$ 和 $\vartriangle BCM$ 的内切圆的半径相等。设 $\frac{AM}{CM}=\frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互素的正整数。求 $p+q$ 的值。 2022-04-17 20:53:01
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