线段 $AC$ 上有一点 $B$，$AB=9$，$BC=21$．点 $D$ 不在线段 $AC$ 上，满足 $AD=CD$，且线段 $AD BD$ 的长度均为整数．设 $S$ 为 $\vartriangle ACD$ 周长所有可能值之和，求 $S$．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
380
【解析】
令 $AD=CD=a$，$BD=b$，设 $E$ 是 $D$ 在线段 $AC$ 上的投影，则由题意得 ${{a}^{2}}-{{15}^{2}}=D{{E}^{2}}={{b}^{2}}-{{6}^{2}}$，即 ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=225-36=189$，故 $\left( a+b, a-b\right)=\left( 189 ,1 \right)$，$\left( 63, 3 \right)$，$\left( 27, 7 \right)$ 或 $\left( 21 ,9 \right)$，由此解得 $\left( a ,b\right)=\left( 95, 94 \right) \left( 33 ,30 \right)$，$\left( 17 ,10 \right) ,\left( 15 ,6 \right)$，其中最后一对是不符合要求的，因此 $b$ 必须比6大．因为每一个三角形的周长都可以表示为 $2a+30$，因此得到 $S=190+66+34+3\times 30=380$．
答案
解析
备注
