在凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle C$，$AB=CD=180$，$AD\ne BC$，若四边形周长为640，求 $\left[ 1000\cos A \right]$（$\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
777
【解析】
如图21-2所示，令 $\angle A=\angle C=\alpha $，$AD=x$，$BC=y$．在 $\vartriangle ABD$ 和 $\vartriangle CBD$ 中由余弦定理得
$B{{D}^{2}}={{x}^{2}}+{{180}^{2}}-2\cdot x\cos \alpha $
$={{y}^{2}}+{{180}^{2}}-2\cdot 180y\cos \alpha $．
由于 $x\ne y$，故 $\cos \alpha=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{2\times 180\left( x-y\right)}=\frac{x+y}{360}=\frac{7}{9}$，因此 $\left[ 1000\cos A\right]=777$．
$B{{D}^{2}}={{x}^{2}}+{{180}^{2}}-2\cdot x\cos \alpha $
$={{y}^{2}}+{{180}^{2}}-2\cdot 180y\cos \alpha $．
由于 $x\ne y$，故 $\cos \alpha=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{2\times 180\left( x-y\right)}=\frac{x+y}{360}=\frac{7}{9}$，因此 $\left[ 1000\cos A\right]=777$．
答案
解析
备注
