已知在菱形 $ABCD$ 中，$\vartriangle ABD$ 与 $\vartriangle ACD$ 的外接圆半径分别为 $12.5$ 与25．求菱形 $ABCD$ 的面积．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
400
【解析】
如图21-10所示，设 $O$ 为线段 $AC BD$ 的交点，$E$ 为 $\vartriangle ABD$ 的外接圆与直线 $AC$ 的交点，延长 $DB$ 交 $\vartriangle ACD$ 的外接圆于 $F$，则由圆幂定理得 $AO\cdot OE=BO\cdot OD$，$DO\cdot OF=AO\cdot OC$．
设 $AC=2m$，$BD=2n$，由于 $AE$ 是 $\vartriangle ABD$ 外接圆的直径，$DF$ 是 $\vartriangle ACD$ 外接圆的直径，所以上面两个等式可以化为
$m\left(25-m \right)={{n}^{2}}\Rightarrow 25m={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$，
$n\left(50-n \right)={{m}^{2}}\Rightarrow 50n={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$．
因此 $m=2n$，并可推得 $m=20$，$n=10$．故 ${{S}_{ABCD}}\text{=}\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=2mn=400$．
设 $AC=2m$，$BD=2n$，由于 $AE$ 是 $\vartriangle ABD$ 外接圆的直径，$DF$ 是 $\vartriangle ACD$ 外接圆的直径，所以上面两个等式可以化为
$m\left(25-m \right)={{n}^{2}}\Rightarrow 25m={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$，
$n\left(50-n \right)={{m}^{2}}\Rightarrow 50n={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$．
因此 $m=2n$，并可推得 $m=20$，$n=10$．故 ${{S}_{ABCD}}\text{=}\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=2mn=400$．
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备注
