在 $\vartriangle ABC$ 中，$AC=BC$，$\angle ACB=106{}^\circ $，三角形内一点 $M$ 满足 $\angle MAC=7{}^\circ $，$\angle MCA=23{}^\circ $，求 $\angle CMB$ 的度数．
【难度】
【出处】
2003年第21届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
83
【解析】
如图21-1所示，在三角形 $ABC$ 内取一点 $N$，使得 $\vartriangle CNB\cong\vartriangle CMA$．由 $\angle MCN=106{}^\circ -23{}^\circ \times 2=60{}^\circ $ 及 $CM=CN$ 知 $\vartriangle CMN$ 是正三角形，因此 $MN=CM=CN$．
由于 $\angle CNB=\angle CMA=180{}^\circ -7{}^\circ-23{}^\circ =150{}^\circ $，
故 $\angle MNB=360{}^\circ -150{}^\circ-60{}^\circ =150{}^\circ =\angle CNB$．
再结合 $CN=MN$，$BN=BN$ 得 $\vartriangle MNB\cong\vartriangle CNB$，因此 $\angle CMB=60{}^\circ +23{}^\circ =83{}^\circ $．
由于 $\angle CNB=\angle CMA=180{}^\circ -7{}^\circ-23{}^\circ =150{}^\circ $，
故 $\angle MNB=360{}^\circ -150{}^\circ-60{}^\circ =150{}^\circ =\angle CNB$．
再结合 $CN=MN$，$BN=BN$ 得 $\vartriangle MNB\cong\vartriangle CNB$，因此 $\angle CMB=60{}^\circ +23{}^\circ =83{}^\circ $．
答案
解析
备注
