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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
17278 598825d75ed01a0009849500 高中 解答题 自招竞赛 证明：方程 $2x^3+5x-2=0$ 恰有一个实数根 $r$，且存在唯一的严格递增正整数数列 $\{a_n\}$，使得 $\dfrac 25=r^{a_1}+r^{a_2}+r^{a_3}+\cdots$． 2022-04-17 19:52:30
16976 599165ca2bfec200011e1ab7 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_1=1$，$x_n=x_{n+1}+\ln (1+x_{n+1})$（$n\in\mathbb N^*$）．证明：当 $n\in\mathbb N^*$ 时． 2022-04-17 19:02:28
16529 5f05a137210b28775079adee 高中 解答题 高考真题 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3,a_{n+1}=3a_n-4n.$ 2022-04-17 19:48:23
16465 599165c42bfec200011e0901 高中 解答题 高考真题 设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$：$1, - 2, - 2,3,3,3, - 4, - 4, - 4, - 4, \cdots $，$\underbrace {{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k, \cdots ,{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k}_{k个}$，$ \cdots $，即当 $\dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2} < n \leqslant \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}$（$k \in {{\mathbb{N}}^*}$）时，${a_n} = {\left( { - 1} \right)^{k - 1}}k$．记 ${S_n} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}^*}$）．对于 $l \in {{\mathbb{N}}^*}$，定义集合 ${P_l} = \left\{ {n\left|\right. {S_n} 是 {a_n} 的整数倍,n \in {{\mathbb{N}}^*},且 1 \leqslant n \leqslant l} \right\}$． 2022-04-17 19:12:23
16406 599165c02bfec200011dff74 高中 解答题 高考真题 已知 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 ${A_n}$，第 $n$ 项之后各项 ${a_{n + 1}}$，$ {a_{n + 2}} $，$ \cdots $ 的最小值记为 ${B_n}$，${d_n} = {A_n} - {B_n}$． 2022-04-17 19:39:22
15749 59084b6b060a05000a4a98cf 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，有 $2n$ 张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为 $1$ 到 $2n$．我们进行这样的操作：每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方．例如 $n=3$ 时，初始顺序为 $123456$，操作后依次得到 $135246$，$154326$，$142536$，$123456$．证明：对任意正整数 $n$，操作不超过 $2n-2$ 次后，这堆牌的顺序会变回初始状态． 2022-04-17 19:35:16
15745 59094225060a050008cff480 高中 解答题 高考真题 设实数 $c>0$，整数 $p>1$，$n \in{\mathbb{N}}^*$． 2022-04-17 19:33:16
15718 590a8f9b6cddca000a081895 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)={\rm e}^x-\cos x$，正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$f(a_n)=a_{n-1}$，$n\geqslant 2$．证明：存在正整数 $n$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k>2016$． 2022-04-17 19:19:16
15708 590abf316cddca000a08197a 高中 解答题 自招竞赛 平面直角坐标系内，若一个圆的圆心的横坐标和纵坐标均为无理数，求证：该圆上不可能存在 $3$ 个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）． 2022-04-17 19:13:16
15689 590be03c6cddca0008611036 高中 解答题 高中习题 设 $f(x),g(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，求证：存在 $x,y\in [0,1]$，使 $\left|xy-f(x)-g(y)\right|\geqslant \dfrac 14$． 2022-04-17 19:01:16
15675 590c370a857b420007d3e555 高中 解答题 高中习题 已知无穷数列 $\{a_n\}$ 中，有 $0<a<1$，$a_1=1+a$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}+a$，求证：对一切 $n\in\mathbb N^*$，都有 $a_n>1$． 2022-04-17 19:55:15
15670 590fcdab857b420007d3e59f 高中 解答题 自招竞赛 某乒乓球培训班共有 $n$ 位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛．试确定 $n$ 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案． 2022-04-17 19:52:15
15665 590fea62857b4200085f8692 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\sin x,\sin y,\sin z$ 为严格递增的等差数列．求证：$\cos x,\cos y,\cos z$ 不是等差数列． 2022-04-17 19:49:15
15656 59101e99857b4200092b0824 高中 解答题 自招竞赛 如图，${P_1}({x_1},{y_1})$，${P_2}({x_2},{y_2})$，$ \cdots $，${P_n}({x_n},{y_n})$，$(0 < {y_1} < {y_2} <\cdots< {y_n},n \in {\mathbb N^ * })$ 是曲线 $C:{y^2} = 3x (y \geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i({a_i},0) (i = 1,2,3, \cdots ,n)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\Delta {A_{i - 1}}{A_i}{P_i}$ 是正三角形（${A_0}$ 是坐标原点）． 2022-04-17 19:43:15
15647 5911758ae020e700094b09b5 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为大于 $2$ 的整数，试用数学归纳法证明不等式$$1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2 - \dfrac{1}{n};$$ 2022-04-17 19:37:15
15643 59118722e020e700094b0a32 高中 解答题 自招竞赛 定义闭集合 $S$：若 $a,b \in S$，则 $a + b \in S$，$a - b \in S$． 2022-04-17 19:35:15
15634 5912759ee020e700094b0b70 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任何实数 $a$ 与 $b$，三个数 $\left| {a + b} \right|$，$\left| {a - b} \right|$，$\left| {1 - a} \right|$ 中至少有一个不小于 $\dfrac{1}{2}$． 2022-04-17 19:30:15
15629 59127911e020e7000a798aef 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 都是有理数，$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ 也是有理数，证明：$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 都是有理数． 2022-04-17 19:27:15
15613 5912aaf5e020e70007fbee03 高中 解答题 自招竞赛 对于任意 $n \in {\mathbb{N}}$，${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 均为非负实数，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} \leqslant \dfrac{1}{2}$，试用数学归纳法证明：$\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \cdots \left( {1 - {x_n}} \right) \geqslant \dfrac{1}{2}$ 成立． 2022-04-17 19:17:15
15593 5912becbe020e7000a798cbb 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A=\{x\mid x=n!+n,n\in\mathbb{N}^*\}$，$B$ 是 $A$ 在 ${{\mathbb{N}}^ * }$ 上的补集． 2022-04-17 19:06:15
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