已知无穷数列 $\{a_n\}$ 中，有 $0<a<1$，$a_1=1+a$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}+a$，求证：对一切 $n\in\mathbb N^*$，都有 $a_n>1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由已知，我们不难发现数列 $\{a_n\}$ 为正项数列，即 $a_n>0$．
又 $0<a<1$，知$$a_1=a+1>1,$$不妨先探索 $a_2$，得$$a_2=\dfrac{1}{a_1}+a=\dfrac{1}{1+a}+a=\dfrac{1}{1+a}+(1+a)-1>1.$$其中用到了均值不等式且等号取不到，这样就证明了 $a_2>1$．
接下来再尝试证明 $a_3>1$：$$a_3=\dfrac{1}{a_2}+a=\dfrac{1}{\frac{1}{a_1}+a}+\left(\dfrac{1}{a_1}+a\right)-\dfrac{1}{a_1}>2-\dfrac{1}{a_1}>1.$$实际上，可以看出 $a_3>1$ 是由 $a_1>1$ 证明的．
我们尝试由 $a_n>1$ 去推得 $a_{n+2}>1$：$$a_{n+2}=\dfrac{1}{a_{n+1}}+a=\dfrac{1}{\frac{1}{a_n}+a}+\left(\dfrac{1}{a_n}+a\right)-\dfrac{1}{a_n}>2-\dfrac{1}{a_n}>1.$$原命题成立，只需验证 $a_1,a_2>1$ 即可．
又 $0<a<1$，知$$a_1=a+1>1,$$不妨先探索 $a_2$，得$$a_2=\dfrac{1}{a_1}+a=\dfrac{1}{1+a}+a=\dfrac{1}{1+a}+(1+a)-1>1.$$其中用到了均值不等式且等号取不到，这样就证明了 $a_2>1$．
接下来再尝试证明 $a_3>1$：$$a_3=\dfrac{1}{a_2}+a=\dfrac{1}{\frac{1}{a_1}+a}+\left(\dfrac{1}{a_1}+a\right)-\dfrac{1}{a_1}>2-\dfrac{1}{a_1}>1.$$实际上，可以看出 $a_3>1$ 是由 $a_1>1$ 证明的．
我们尝试由 $a_n>1$ 去推得 $a_{n+2}>1$：$$a_{n+2}=\dfrac{1}{a_{n+1}}+a=\dfrac{1}{\frac{1}{a_n}+a}+\left(\dfrac{1}{a_n}+a\right)-\dfrac{1}{a_n}>2-\dfrac{1}{a_n}>1.$$原命题成立，只需验证 $a_1,a_2>1$ 即可．
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