证明：方程 $2x^3+5x-2=0$ 恰有一个实数根 $r$，且存在唯一的严格递增正整数数列 $\{a_n\}$，使得 $\dfrac 25=r^{a_1}+r^{a_2}+r^{a_3}+\cdots$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $f(x)=2x^3+5x-2$，则 $f'(x)=6x^2+5>0$，所以 $f(x)$ 是严格递增的．又 $f(0)=-2<0$，$f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 34>0$，故 $f(x)=0$ 有唯一实数根 $r \in \left(0,\dfrac 12\right)$．所以 $2r^3+5r-2=0$，故$$\dfrac 25=\dfrac {r}{1-r^3}=r+r^4+r^7+\cdots.$$故 $a_n=3n-2$（$n=1,2,\cdots$）是满足题设要求的数列．
若存在两个不同的正整数数列 $a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots$ 和 $b_1<b_2<\cdots<b_n<\cdots$ 满足$$r^{a_1}+r^{a_2}+r^{a_3}+\cdots=r^{b_1}+r^{b_2}+r^{ b_3}+\cdots=\dfrac 25,$$去掉上面等式两边相同的项，有$$r^{s_1}+r^{s_2}+r^{s_3}+\cdots=r^{t_1}+r^{t_2}+r^{t_3}+\cdots.$$这里 $s_1<s_2<s_3<\cdots$，$t_1<t_2<t_3<\cdots$，所有的 $s_i$ 与 $t_j$ 都是不同的．
不妨设 $s_1<t_1$，则$$r^{s_1}<r^{s_1}+r^{s_2}+\cdots=r^{t_1}+r^{t_2}+\cdots,$$所以\[\begin{split}1&<r^{t_1-s_1}+r^{t_2-s_1}+\cdots \\ & \leqslant r+r^2+\cdots =\dfrac {1}{1-r}-1 \\ &<\dfrac {1}{1-\dfrac 12}-1=1,\end{split}\]矛盾．故满足题设的数列是唯一的．
若存在两个不同的正整数数列 $a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots$ 和 $b_1<b_2<\cdots<b_n<\cdots$ 满足$$r^{a_1}+r^{a_2}+r^{a_3}+\cdots=r^{b_1}+r^{b_2}+r^{ b_3}+\cdots=\dfrac 25,$$去掉上面等式两边相同的项，有$$r^{s_1}+r^{s_2}+r^{s_3}+\cdots=r^{t_1}+r^{t_2}+r^{t_3}+\cdots.$$这里 $s_1<s_2<s_3<\cdots$，$t_1<t_2<t_3<\cdots$，所有的 $s_i$ 与 $t_j$ 都是不同的．
不妨设 $s_1<t_1$，则$$r^{s_1}<r^{s_1}+r^{s_2}+\cdots=r^{t_1}+r^{t_2}+\cdots,$$所以\[\begin{split}1&<r^{t_1-s_1}+r^{t_2-s_1}+\cdots \\ & \leqslant r+r^2+\cdots =\dfrac {1}{1-r}-1 \\ &<\dfrac {1}{1-\dfrac 12}-1=1,\end{split}\]矛盾．故满足题设的数列是唯一的．
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