题目 已知 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 ${A_n}$，第 $n$ 项之后各项 ${a_{n + 1}}$，$ {a_{n + 2}} $，$ \cdots $ 的最小值记为 ${B_n}$，${d_n} = {A_n} - {B_n}$． 问题1 若 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为 $2$，$ 1 $，$ 4 $，$ 3 $，$ 2 $，$ 1 $，$ 4 $，$ 3 $，$\cdots$，是一个周期为 $ 4 $ 的数列（即对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$，${a_{n + 4}} = {a_n}$），写出 ${d_1}$，$ {d_2} $，$ {d_3} $，${d_4}$ 的值； 答案1 ${d_1} = {d_2} = 1,{d_3} = {d_4} = 3$． 解析1 直接根据定义代入数值即可．略． 备注1 问题2 设 $d$ 是非负整数，证明：${d_n} = - d\left( {n = 1,2,3 \cdots } \right)$ 的充分必要条件为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列； 答案2 略． 解析2 本题要分充分性和必要性两个方面证明．充分性容易说明；必要性需要充分利用 $a_n$、$a_{n+1}$、$A_n$、$B_n$ 的关系来说明．充分性证明：因为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，且 $d \geqslant 0$，所以\[{a_1} \leqslant {a_2} \leqslant \cdots \leqslant {a_n} \leqslant \cdots .\]因此\[\begin{split}{A_n} &= {a_n},\\B_n &= {a_{n + 1}},\\d_n &= {a_n} - {a_{n + 1}} = - d\left( {n = 1,2,3, \cdots } \right).\end{split}\]必要性证明：因为 ${d_n} = - d \leqslant 0\left( {n = 1,2,3, \cdots } \right)$，所以\[{A_n} = {B_n} + {d_n} \leqslant {B_n}.\]又因为 ${a_n} \leqslant {A_n},{a_{n + 1}} \geqslant {B_n}$，所以\[{a_n} \leqslant {a_{n + 1}}.\]于是，${A_n} = {a_n},{B_n} = {a_{n + 1}}$．因此\[{a_{n + 1}} - {a_n} = {B_n} - {A_n} = - {d_n} = d,\]即 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列． 备注2 问题3 证明：若 ${a_1} = 2$，${d_n} = 1\left( {n = 1,2,3, \cdots } \right)$，则 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的项只能是 $ 1 $ 或者 $ 2 $，且有无穷多项为 $ 1 $． 答案3 略． 解析3 本题可以用反证法证明，注意 $A_n$、$B_n$ 的表达．因为 ${a_1} = 2,{d_1} = 1$，所以\[\begin{split}{A_1} &= {a_1} = 2, \\ {B_1} &= {A_1} - {d_1} = 1.\end{split}\]故对任意 $n \geqslant 1,{a_n} \geqslant {B_1} = 1$．<br/>假设 $\left\{ {a_n} \right\}\left( {n \geqslant 2} \right)$ 中存在大于 $ 2 $ 的项．<br/>设 $m \geqslant 2$，并且对任意 $1 \leqslant k < m,{a_k} \leqslant 2$．又因为 ${a_1} = 2$，所以\[{A_{m - 1}} = 2,{A_m} = {a_m} > 2,\]于是，\[\begin{split}{B_m} &= {A_m} - {d_m} > 2 - 1 = 1, \\ {B_{m - 1}} &= \min \left\{ {{a_m},{B_m}} \right\} \geqslant 2.\end{split}\]故\[{d_{m - 1}} = {A_{m - 1}} - {B_{m - 1}} \leqslant 2 - 2 = 0.\]与 ${d_{m - 1}} = 1$ 矛盾．<br/>所以对于任意 $n \geqslant 1$，有 ${a_n} \leqslant 2$，即非负整数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的各项只能为 $ 1 $ 或 $ 2. $<br/>因为对任意 $n \geqslant 1,{a_n} \leqslant 2 = {a_1}$，所以 ${A_n} = 2$．故\[{B_n} = {A_n} - {d_n} = 2 - 1 = 1.\]因此对于任意正整数 $n$，存在 $m$ 满足 $m > n$，且 ${a_m} = 1$，即数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 有无穷多项为 $ 1. $ 备注3