题目 设实数 $c>0$，整数 $p>1$，$n \in{\mathbb{N}}^*$． 问题1 证明：当 $x>-1$ 且 $x \ne 0$ 时，$\left(1 +x\right)^p > 1+px$； 答案1 略 解析1 用数学归纳法证明，对 $p$ 进行归纳．<br/>当 $p=2$ 时，命题显然成立；<br/>若命题对 $p=k$（$k\geqslant 2$ 且 $k\in\mathbb{N}$）成立，则当 $p=k+1$ 时，有$$(1+x)^{k+1}>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\geqslant 1+(1+k)x,$$于是命题对 $p=k+1$ 也成立，从而原命题得证． 备注1 问题2 数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 满足 ${a_1}> c^{\frac 1 p }$，${a_{n+1}}= \dfrac{p-1}{p}{a_n}+ \dfrac{c}{p}a_n^{1-p}$，证明：${a_n}>{a_{n+1}}> c^{\frac 1 p }$． 答案2 略 解析2 首先用数学归纳法证明 $a_n>c^{\frac 1p}$（$n\in{\mathbb N^*}$），对 $n$ 进行归纳．<br/>当 $n=1$ 时，命题显然成立；<br/>假设当 $n=k$（$k\in{\mathbb N^*}$）时，有 $a_k>c^{\frac 1p}$，则当 $n=k+1$ 时，由$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=1+\dfrac 1p\left(\dfrac c{a_k^p}-1\right)$$应用第 $(1)$ 小题的结论得$$\left(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right)^p>1+p\cdot\dfrac 1p\left(\dfrac c{a_k^p}-1\right) = \dfrac c{a_k^p},$$于是有 $a_{k+1}>c^{\frac 1p}$．<br/>综上，命题 $a_{n}>c^{\frac 1p}$（$n\in{\mathbb N^*}$）得证．<br/>在 $a_n>c^{\frac 1p}$（$n\in{\mathbb N^*}$）的基础上有$$a_{n+1}-a_n=\dfrac{p-1}p a_n +\dfrac cp a_n^{1-p}-a_n=-\dfrac 1p a_n+\dfrac cp a_n^{1-p}=\dfrac 1p a_n \left(\dfrac c{a_n^p}-1\right)<0,$$因此原命题得证． 备注2 也可以利用均值不等式进行 $a_n>c^{\frac 1p}$（$n\in{\mathbb N^*}$）的递推证明：$$\dfrac 1p\left(\underbrace{a_n+a_n+\cdots +a_n}_{p-1 }+\dfrac c{a_n^{p-1}}\right)>c^{\frac 1p},$$即$$\dfrac{p-1}p a_n+\dfrac cp a_n^{1-p}>c^{\frac 1p},$$因此 $a_{n+1}>c^{\frac 1p}$．