设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3,a_{n+1}=3a_n-4n.$
【难度】
【出处】
2020高考全国（Ⅲ）卷（理）
【标注】
-
计算 $a_2,a_3$，猜想 $\{a_n\}$ 的通项公式并加以证明；标注答案$a_n=2n+1$解析解：
$a_2=5,a_3=7.$
猜想 $a_n=2n+1$，由已知可得
$a_{n+1}-(2n+3)=3[a_n-(2n+1)],$
$a_n-(2n+1)=3[a_{n-1}-(2n-1)],$
$\cdots\cdots$
$a_2-5=3(a_1-3).$
因为 $a_1=3$，所以 $a_n=2n+1.$ -
求数列 $\{2^na_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．标注答案$S_n=(2n-1)2^{n+1}+2$解析解：由（1）得 $2^na_n=(2n+1)2^n$，所以
$S_n=3\times2+5\times2^2+7\times2^3+\cdots+(2n+1)\times2^n.$ ①
从而
$2S_n=3\times2^2+5\times2^3+7\times2^4+\cdots+(2n+1)\times2^{n+1}.$ ②
① - ② 得
$- S_n=3\times2+2\times2^2+2\times2^3+\cdots+2\times2^n-(2n+1)\times2^{n+1},$
所以 $ S_n=(2n-1)2^{n+1}+2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
