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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27124 59101b44857b420007d3e63e 高中 解答题 自招竞赛 已知正数列 ${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$，且对大于 $1$ 的 $n$ 有 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n} = \dfrac{3}{2}n$，${a_1} \cdot {a_2} \cdots {a_n} = \dfrac{{n + 1}}{2}$．试证：${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$ 中至少有一个小于 $1$． 2022-04-17 21:20:01
27110 5927c20f74a309000997fc45 高中 解答题 高考真题 已知 $M$ 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 $f(x)\in M$，① 方程 $f(x)-x=0$ 有实数根；② 函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 满足 $0<f'(x)<1$． 2022-04-17 21:13:01
27066 59579f48d3b4f9000ad5e9cb 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$． 2022-04-17 21:48:00
27023 591176bde020e7000a7988e0 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足关系 ${a_{n + 1}} = 2{a_n}^2 - 1$，$n = 1,2, \cdots $，若存在 $N$ $ \geqslant 2 $ 满足 $ {a_N} = 1$．试证明： 2022-04-17 21:24:00
26974 591266c7e020e7000878f70a 高中 解答题 自招竞赛 是否存在 $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$，使得 $\sin x,\cos x, \tan x, \cot x$ 为组成等差数列的四个数（即某种排列可以构成等差数列），请说明理由． 2022-04-17 20:56:59
26957 59126cc1e020e7000878f75a 高中 解答题 自招竞赛 若存在 $M$，使任意 $t \in D$（$D$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的定义域），都有 $\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant M$，则称函数 $f\left( x \right)$ 有界．问函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$ 上是否有界？ 2022-04-17 20:48:59
26946 5912704de020e7000878f7a4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $y = f\left( x \right)$ 的图象与函数 $g\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 2$ 的图象关于点 $\left( {0, 1} \right)$ 对称． 2022-04-17 20:42:59
26934 591274f5e020e7000878f7f0 高中 解答题 自招竞赛 求证： 2022-04-17 20:35:59
26891 59128a3be020e70007fbeda2 高中 解答题 自招竞赛 对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）． 2022-04-17 20:11:59
26723 59607e253cafba000ac43c9f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 满足：对实数 $a,b$ 有 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$，且 $\left|f(x)\right|\leqslant1$，求证：$f(x)$ 恒为零．（可用以下结论：若 $\lim\limits_{x\to \infty}{g(x)}=0$，$\left|f(x)\right|\leqslant M$，$M$ 为一常数，那么 $\lim\limits_{x\to \infty}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=0$．） 2022-04-17 20:36:57
26688 591416a90cbfff000adcab84 高中 解答题 高中习题 若 $f(x)$ 是定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的连续周期函数，则 $f(x)$ 或为常值函数或有最小正周期． 2022-04-17 20:17:57
26598 591426a01edfe2000ade98c2 高中 解答题 高中习题 设有 ${2^n}$ 个球分成了许多堆，我们可以任意选取甲、乙两堆来按如下规则挪动：若甲堆的球数 $p$ 不少于乙堆的球数 $q$，则从甲堆中拿出 $q$ 个球放入乙堆，这算是挪动了一次．求证：可以经过有限次挪动把所有的球并成一堆． 2022-04-17 20:30:56
26587 591427211edfe2000ade98c6 高中 解答题 高中习题 已知 $x$ 是整数，且$$f(x)=\begin{cases}x-3,&x \geqslant 10,\\
f \left(f(x+5)\right),&x<10,\end{cases}$$求 $f(x)$ 的解析式．		 2022-04-17 20:24:56
26450 597e98aed05b90000c805804 高中 解答题 高中习题 设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-na_n+1$，${a_1} \geqslant 3$． 2022-04-17 20:05:55
26373 5927d95250ce84000aaca991 高中 解答题 高考真题 已知集合 ${S_n} = \left\{ X \mid X = \left({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\right),{x_i} \in \left\{ 0,1\right\} ,i = 1,2, \cdots ,n\right\} \left(n \geqslant 2\right)$，对于 $A = \left({a_1},{a_2}, \cdots , {a_n} \right)$，$B = \left({b_1},{b_2}, \cdots {b_n},\right) \in {S_n}$，定义 $ A $ 与 $ B $ 的差为 $A - B = \left(|{a_1} - {b_1}|,|{a_2} - {b_2}|, \cdots ,|{a_n} - b_n|\right)$；$ A $ 与 $ B $ 之间的距离为 $\displaystyle d\left(A,B\right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} |{a_i} - {b_i}|$． 2022-04-17 20:20:54
26370 5927da2f50ce840009d7709c 高中 解答题 高考真题 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长为有理数． 2022-04-17 20:19:54
26361 5927ddc950ce840007247ab0 高中 解答题 高考真题 已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c - \dfrac{1}{a_n}$． 2022-04-17 20:14:54
26338 592e2c3deab1df0007bb8cc7 高中 解答题 高中习题 若数列 $\{a_n\},(n\in\mathbb N^*)$ 满足：
① $a_n\geqslant0$；
② $a_n-2a_{n+1}+a_{n+2}\geqslant0$；
③ $a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant1$．
则称数列 $\{a_n\}$ 是“和谐”数列．		 2022-04-17 20:03:54
26337 592e2c8beab1df000ab6eba9 高中 解答题 高中习题 设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前项和（$n=1,2,3,\cdots$），按如下方式定义数列 $\{a_n\}:a_1=m(m\in\mathbb N^*)$，对任意 $k\in\mathbb N^*$，$k>1$，设 $\{a_n\}$ 为满足 $0\leqslant a_k\leqslant k-1$ 的整数，且 $k$ 整除 $S_k$． 2022-04-17 20:02:54
26336 592e2d3eeab1df000825729a 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 是正整数，对每一个满足 $0\leqslant a_i\leqslant n(i=1,2,\cdots,n)$ 的整数数列 $A=\{a_0,a_1,\cdots,a_n\}$，定义变换 $T$：数列 $T(A)=\{0,T(a_1),T(a_2),\cdots,T(a_n)\}$，其中 $T(a_i)$ 为数列 $A$ 中位于 $a_i$ 之前的与 $a_i$ 不相等的项的个数（$i=1,2,\cdots,n$），令 $A_{k+1}=T(A_k)(k=0,1,2,\cdots)$． 2022-04-17 20:02:54
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