设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-na_n+1$，${a_1} \geqslant 3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$a_n \geqslant n+2$；标注答案略解析利用数学归纳法容易证明．
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求证：$\dfrac{1}{{1+{a_1}}}+\dfrac{1}{{1+{a_2}}}+\cdots+\dfrac{1}{{1+a_n}} \leqslant \dfrac{1}{2}$．标注答案略解析根据题意$$a_{n+1}+1=a_n^2-na_n+2
\geqslant \left( {n+2} \right)a_n-na_n+2
= 2\left( {a_n+1} \right)$$于是$$ \dfrac{1}{{1+{a_1}}}+\dfrac{1}{{1+{a_2}}}+\cdots+\dfrac{1}{{1+a_n}} \leqslant \dfrac{{\dfrac{1}{{1+{a_1}}}}}{{1-\dfrac{1}{2}}} \leqslant \dfrac{1}{2}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
