求证：
【难度】
【出处】
2010年南开大学自主招生保送生测试
【标注】
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$n! < {\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)^n}$，$n \geqslant 2 , n \in {\mathbb {N}}$；标注答案略解析用数学归纳法．
当 $n = 2$ 时，命题成立；
设 $n! < {\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)^n}$，则$$\left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right) < {\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)^n} \cdot \left( {n + 1} \right).$$用分析法证明：\[\begin{split}&{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)^n} \cdot \left( {n + 1} \right) < {\left( {\frac{{n + 2}}{2}} \right)^{n + 1}}\\& \Leftarrow {\left( {n + 2} \right)^{n + 1}} > 2{\left( {n + 1} \right)^{n + 1}}\\& \Leftarrow {\left( {\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}} > 2\\& \Leftarrow 1 + \frac{1}{{n + 1}} > 1 \geqslant {\log _{n + 1}}2.\end{split}\]所以原命题得证． -
$n! < {\left( {\dfrac{{n + 2}}{{\sqrt 6 }}} \right)^n}$．标注答案略解析用数学归纳法．
当 $n = 1$ 时，命题成立；
设 $n! < {\left( {\dfrac{{n + 2}}{{\sqrt 6 }}} \right)^n}$，则$$\left( {n + 1} \right)! = \left( {n + 1} \right) \cdot n! < \left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{{n + 2}}{{\sqrt 6 }}} \right)^n}.$$用分析法证明：\[\begin{split}&\left( {n + 1} \right) \cdot {\left( {\dfrac{{n + 2}}{{\sqrt 6 }}} \right)^n} < {\left( {\dfrac{{n + 3}}{{\sqrt 6 }}} \right)^{n + 1}} \\&\Leftarrow {\left( {n + 3} \right)^{n + 1}} > \sqrt 6 \left( {n + 1} \right){\left( {n + 2} \right)^n}\\& \Leftarrow {\left( {\frac{{n + 3}}{{n + 2}}} \right)^{n + 1}} \cdot \frac{{n + 2}}{{n + 1}} > \sqrt 6. \end{split}\]而$$\begin{split} {\left( {\dfrac{{n + 3}}{{n + 2}}} \right)^{n + 1}} =& {\left( {1 + \dfrac{1}{{n + 2}}} \right)^{n + 1}}\\\geqslant& 1 + \left( {n + 1} \right) \cdot \dfrac{1}{{n + 2}} + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{{n + 2}}} \right)^2},\end{split} $$所以$$\begin{split} {\left( {\dfrac{{n + 3}}{{n + 2}}} \right)^{n + 1}} \cdot \dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} \geqslant &\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} + 1 + \dfrac{n}{{2\left( {n + 2} \right)}}\\=& 2 + \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{n + 2}} \\>& \dfrac{5}{2} > \sqrt 6 .\end{split} $$所以原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
