若 $f(x)$ 是定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的连续周期函数，则 $f(x)$ 或为常值函数或有最小正周期．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．
若 $f(x)$ 既不是常值函数，也没有最小正周期，由于 $f(x)$ 连续，所以任取 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，只要 $\left|x'-0\right|<\delta$，就有$$\left|f \left(x'\right)-f(0)\right|<\varepsilon.$$由于 $f(x)$ 没有最小正周期，故存在 $f(x)$ 的一个周期 $0<T<\delta$．
对于任意实数 $x$，存在整数 $n$，使得 $x=nT+\tau$，其中 $0\leqslant \tau<T$．由于 $|\tau-0|<\delta$，所以\[\left|f(x)-f(0)\right|=\left|f(\tau)-f(0)\right|<\varepsilon.\]由 $\varepsilon$ 和 $x$ 的任意性可知，$f(x)\equiv f(0)$，这与 $f(x)$ 不是常值函数矛盾．
故引理得证．
若 $f(x)$ 既不是常值函数，也没有最小正周期，由于 $f(x)$ 连续，所以任取 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，只要 $\left|x'-0\right|<\delta$，就有$$\left|f \left(x'\right)-f(0)\right|<\varepsilon.$$由于 $f(x)$ 没有最小正周期，故存在 $f(x)$ 的一个周期 $0<T<\delta$．
对于任意实数 $x$，存在整数 $n$，使得 $x=nT+\tau$，其中 $0\leqslant \tau<T$．由于 $|\tau-0|<\delta$，所以\[\left|f(x)-f(0)\right|=\left|f(\tau)-f(0)\right|<\varepsilon.\]由 $\varepsilon$ 和 $x$ 的任意性可知，$f(x)\equiv f(0)$，这与 $f(x)$ 不是常值函数矛盾．
故引理得证．
答案
解析
备注
