设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足关系 ${a_{n + 1}} = 2{a_n}^2 - 1$，$n = 1,2, \cdots $，若存在 $N$ $ \geqslant 2 $ 满足 $ {a_N} = 1$．试证明：
【难度】
【出处】
2002年上海交通大学保送生连读班考试
【标注】
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$|{a_1}| \leqslant 1$；标注答案略解析用反证法．若$$\left| {{a_1}} \right| > 1,$$则$${a_1}^2 > 1 \Rightarrow {a_2} = 2{a_1}^2 - 1 > 1 \Rightarrow \cdots .$$所以$${a_n} > 1,n = 2,3, \cdots .$$矛盾．
所以 $\left| {{a_1}} \right| \leqslant 1$． -
${a_1} = \cos \dfrac{{k{\mathrm{\pi }}}}{{{2^{N - 2}}}}$（$k$ 为整数）．标注答案略解析设 ${a_n} = \cos {\theta _n}$，则$${a_{n + 1}} = \cos 2{\theta _n} = \cos {\theta _{n + 1}},$$于是$${\theta _{n + 1}} = {2^n}{\theta _n}.$$所以$${a_N} = \cos {\theta _N} = \cos {(2^{N - 1}}{\theta _1}) = 1,$$解得$${a_1} = \cos {\theta _1} = \cos \dfrac{{k{\mathrm{\pi }}}}{2^{N - 2}}, k \in {\mathbb{Z}}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
