题目 若数列 $\{a_n\},(n\in\mathbb N^*)$ 满足：<br/>① $a_n\geqslant0$；<br/>② $a_n-2a_{n+1}+a_{n+2}\geqslant0$；<br/>③ $a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant1$．<br/>则称数列 $\{a_n\}$ 是“和谐”数列． 问题1 验证数列 $\{a_n\},\{b_n\}$，其中 $a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$，$b_n=\dfrac{1}{2n}$，是否为“和谐”数列； 答案1 $\{a_n\}$ 是“和谐”数列；$\{b_n\}$ 不是“和谐”数列 解析1 直接验证可得，$\{a_n\}$ 是“和谐”数列；$\{b_n\}$ 不是“和谐”数列． 备注1 问题2 若数列 $\{a_n\}$ 为“和谐”数列，证明：$0\leqslant a_n-a_{n+1}<\dfrac{2}{n^2}$． 答案2 略 解析2 题意即证明$$-\dfrac{2}{n^2}<\Delta a_n\leqslant0,$$由 ②，$\Delta a_{n+1}\geqslant\Delta a_n$．<br/>先证明右边，用反证法．<br/>设存在 $k\in\mathbb N^*$ 使得 $\Delta a_k>0$，则$$\Delta a_k\leqslant \Delta a_{k+1}\leqslant\cdots\leqslant\Delta a_{k+m},$$于是 $a_{k+m}-a_{k}\geqslant m\Delta a_k$，所以$$a_{k+m}\geqslant a_k+m\Delta a_k,$$因此必然存在 $m$ 使得 $a_{k+m}>1$，与 ③ 矛盾，于是 $\Delta a_n\leqslant0$．<br/>再证明左边，用反证法．<br/>设存在 $k\in\mathbb N^*$ 使得 $\Delta a_k\leqslant-\dfrac{2}{k^2}$，则$$\Delta a_1\leqslant \Delta a_2\leqslant\cdots\Delta a_k\leqslant-\dfrac{2}{k^2},$$从而$$a_k\geqslant a_{k+1}+\dfrac {2}{k^2},a_{k-1}\geqslant a_{k+1}+\dfrac{4}{k^2},\cdots,a_1\geqslant a_{k+1}+\dfrac{2k}{k^2},$$于是$$a_1+a_2+\cdots+a_k\geqslant ka_{k+1}+\dfrac{k+1}{k}>1,$$矛盾．<br/>因此 $\Delta a_n>-\dfrac{2}{n^2}$．<br/>综上，命题得证． 备注2