设有 ${2^n}$ 个球分成了许多堆，我们可以任意选取甲、乙两堆来按如下规则挪动：若甲堆的球数 $p$ 不少于乙堆的球数 $q$，则从甲堆中拿出 $q$ 个球放入乙堆，这算是挪动了一次．求证：可以经过有限次挪动把所有的球并成一堆．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $n$ 进行归纳．
归纳基础 当 $n=1$ 时，命题显然成立．
递推证明 假设 $n=k$ 时命题成立，则 $n=k+1$ 时，在由 $2^{k+1}$ 个球所分出的许多堆球中，球数为奇数的堆必有偶数个．下面将这些球数为奇数的堆两两配对，并在每一对中的两堆球之间进行一次挪动，便可使所有这些堆中的球数都变为偶数（有些堆中的球数可能会变为0）．这时，我们再将每一堆中的球都两个两个的绑在一起视为一个“球”，于是总“球”数变为 $2^k$ 个，由归纳假设知它们可以经过有限次挪动之后并成一堆．
综上所述，要证的命题成立．
综上所述，要证的命题成立．
答案
解析
备注
