已知正数列 ${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$，且对大于 $1$ 的 $n$ 有 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n} = \dfrac{3}{2}n$，${a_1} \cdot {a_2} \cdots {a_n} = \dfrac{{n + 1}}{2}$．试证：${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$ 中至少有一个小于 $1$．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．
若$${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n} \geqslant 1,$$则$${a_1} - 1,{a_2} - 1, \cdots ,{a_n} - 1 \geqslant 0.$$设$${b_n} = {a_n} - 1,n = 1,2,3, \cdots .$$则$${b_1} + {b_2} + \cdots + {b_n} = \dfrac{n}{2},$$那么\[\dfrac{{n + 1}}{2} = \left( {{b_1} + 1} \right)\left( {{b_2} + 1} \right) \cdots \left( {{b_n} + 1} \right) > 1 + \left( {{b_1} + {b_2} + \cdots + {b_n}} \right) = 1 + \dfrac{n}{2},\]矛盾．于是原命题得证．
若$${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n} \geqslant 1,$$则$${a_1} - 1,{a_2} - 1, \cdots ,{a_n} - 1 \geqslant 0.$$设$${b_n} = {a_n} - 1,n = 1,2,3, \cdots .$$则$${b_1} + {b_2} + \cdots + {b_n} = \dfrac{n}{2},$$那么\[\dfrac{{n + 1}}{2} = \left( {{b_1} + 1} \right)\left( {{b_2} + 1} \right) \cdots \left( {{b_n} + 1} \right) > 1 + \left( {{b_1} + {b_2} + \cdots + {b_n}} \right) = 1 + \dfrac{n}{2},\]矛盾．于是原命题得证．
答案
解析
备注
