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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15619 591289a6e020e7000878f90c 高中 解答题 自招竞赛 甲、乙两人先后掷一枚均匀的正方形骰子（其六个面分别标有点数 $1, 2, 3, 4, 5, 6$），甲掷后朝上的面的点数记为 $a$，乙掷后朝上的面的点数记为 $b$． 2022-04-17 19:21:15
15611 5912aeace020e7000a798c09 高中 解答题 自招竞赛 随机挑选一个三位数 $I$． 2022-04-17 19:15:15
15595 5912be38e020e70007fbeeaa 高中 解答题 自招竞赛 正整数数列 $\{ {x_n}\} $，$\{ {y_n}\} $ 满足：${x_{n + 2}} = 2{x_{n + 1}} + {x_n}$，${y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + 2{y_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}_ + }$）．
证明：存在正整数 ${n_0}$，对任意正整数 $n > {n_0}$，有 ${x_n} > {y_n}$ 恒成立．		 2022-04-17 19:07:15
15588 59277c8374a309000813f651 高中 解答题 高考真题 已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,2n\}$（$n\in {\mathbb N}^+$）．对于 $A$ 的一个子集 $S$，若存在不大于 $n$ 的正整数 $m$，使得对于 $S$ 中的任意一对元素 $s_1$，$s_2$，都有 $|s_1-s_2|\ne m$，则称 $S$ 具有性质 $P$． 2022-04-17 19:02:15
15586 592787fd74a309000ad0ce6e 高中 解答题 高考真题 已知集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\}$，其中 $a_i\in \mathbb R$（$1\leqslant i\leqslant n$，$n\geqslant 3$），$l(A)$ 表示 $a_i+a_j$ 中所有不同数值的个数，其中 $1\leqslant i<j\leqslant n $． 2022-04-17 19:01:15
15585 592788c374a309000ad0ce71 高中 解答题 高中习题 给定有限个正数满足条件 $T$：每个数都不大于 $50$ 且总和 $L=1275$．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 $150$ 且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 $150$ 与这组数之和的差 $r_{i}$ 与所有可能的其他选择相比是最小的，$r_{1}$ 称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 $r_{2}$；如此继续构成第三组（余差为 $r_{3}$），第四组（余差为 $r_{4}$），$\cdots\cdots$，直至第 $N$ 组（余差为 $r_{N}$）．把这些数全部分完为止．		 2022-04-17 19:01:15
15561 595c81036e0c650007a0427c 高中 解答题 高中习题 已知 $S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$，其中 $k,n\in\mathbb N^{\ast}$． 2022-04-17 19:47:14
15485 596883ad22d140000ac07f21 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A$ 是所有十进制表示中的数码不包含 $2,0,1,6$ 的正整数 $x$ 构成的集合．证明：集合 $A$ 中的所有元素的倒数之和 $\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<3$． 2022-04-17 19:04:14
15414 597e88abd05b90000b5e3085 高中 解答题 高中习题 是否存在一个非等腰三角形 $ABC$，使得 $\cos A+\cos B=\cos C$？ 2022-04-17 19:27:13
15407 597ea006d05b90000addb376 高中 解答题 高中习题 对于一个 $n$（$n \geqslant 3$）元点集，$n$ 个点不全在一条直线上．求证：一定存在某两个点，连接它们的直线上不存在 $n$ 元点集中的其他点（其逆否命题为“对于一个 $n$ 元点集，若其中任意两点连线上还存在其他点，则这 $n$ 个点共线”．）． 2022-04-17 19:23:13
15374 598958b15a1cff0009ea22d2 高中 解答题 自招竞赛 $2013$ 个白球和 $2014$ 个黑球任意排成一列，求证：无论如何排列，都至少有个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 19:03:13
15318 59b73411b049650008cb66fb 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1$，$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+n,&a_n\leqslant n,\\a_n-n,&a_n>n,\end{cases}n=1,2,\cdots.$$求满足 $a_r<r\leqslant3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数． 2022-04-17 19:35:12
15312 59bb3b4f77c760000717e3b1 高中 解答题 自招竞赛 证明：对于所有的 $n\in\mathbb N^*$，不定方程 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=y^2$ 有正整数解 $(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)$． 2022-04-17 19:31:12
14913 59117a3ce020e70007fbeafd 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\dfrac{2(1-a)+\cos x}{a-\sin^2x}$ 的值域包含区间 $[1,2]$，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 19:53:08
14908 59113265e020e70007fbe9fa 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 12a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且 $a_1=1$，求证：对任意 $n\geqslant 2$，均有 $\dfrac 2{\sqrt{a_n^2-2}}$ 是正整数． 2022-04-17 19:49:08
14905 590aa6386cddca00092f6f5e 高中 解答题 高中习题 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，动点 $P$ 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 表面上运动，且 $PA=r$（$0<r<\sqrt 3$）．记点 $P$ 的轨迹的长度为 $f(r)$． 2022-04-17 19:48:08
14570 599165be2bfec200011df7fa 高中 填空题 高考真题 函数 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $A$，若 ${x_1} , {x_2} \in A$ 且 $f\left( {x_1} \right) = f\left( {x_2} \right)$，则 ${x_1} = {x_2}$，称 $f\left( x \right)$ 为单函数．例如，函数 $f\left( x \right) = 2x + 1\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数．下列命题：
① 函数 $f\left( x \right) = {x^2}\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数；
② 指数函数 $f\left( x \right) = {2^x}\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数；
③ 若 $f\left(x\right)$ 为单函数，${x_1} , {x_2} \in A$ 且 ${x_1} \ne {x_2}$，则 $f\left( {x_1} \right) \ne f\left( {x_2} \right)$；
④ 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）		 2022-04-16 22:47:59
14556 59fbbc5e03bdb1000a37cc38 高中 填空题 高考真题 函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$，若 $x_1,x_2\in A$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$ 时总有 $x_1=x_2$，则称 $f(x)$ 为单函数．例如，函数 $f(x)=2x+1$（$x\in \mathbb R$）是单函数．下列命题：
① 函数 $f(x)=x^2$（$x\in \mathbb R$）是单函数；
② 若 $f(x)$ 为单函数，$x_1,x_2 \in A$ 且 $x_1\ne x_2$，则 $f(x_1)\ne f(x_2)$；
③ 若 $f:A\to B$ 为单函数，则对于任意 $b\in B$，它至多有一个原象；
④ 函数 $f(x)$ 在某区间上具有单调性，则 $f(x)$ 一定是单函数．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）		 2022-04-16 22:39:59
14548 59fdc89403bdb1000a37ce2c 高中 填空题 高中习题 平面几何中有以下结论：设 $O$ 是等腰三角形 $MAB$ 底边 $AB$ 的中点，$MA=MB=1$，过 $O$ 的直线与直线 $MA,MB$ 分别交于 $P,Q$，则 $\dfrac{1}{MP}+\dfrac{1}{MQ}=2$．类比此结论，设 $O$ 为正三棱锥 $M-ABC$ 底面 $ABC$ 的中心，$MA=MB=MC=1$，过 $O$ 的平面与直线 $MA,MB,MC$ 分别交于 $P,Q,R$，则对应的结论是 ． 2022-04-16 22:33:59
14545 590bd6336cddca000a081b15 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)=x(1+a|x|)$，设关于 $x$ 的不等式 $f(x+a)<f(x)$ 的解集为 $M$，若 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M$，则实数 $a$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:32:59
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