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随机挑选一个三位数 $I$．
【难度】
【出处】
2009年清华大学保送生试题（理科）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    计数与概率
    >
    计数与概率
  • 题型
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    计数与概率
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    概率计算题
  • 知识点
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    计数与概率
    >
    加法原理与乘法原理
  • 知识点
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    计数与概率
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    随机事件的概率
    >
    古典概型
  • 数学竞赛
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    计数与概率
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    计数与概率
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    概率计算题
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    古典概型
  • 知识点
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    计数与概率
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    加法原理与乘法原理
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    考虑反面
  1. 求 $I$ 含有因数 $5$ 的概率；
    标注
    • 数学竞赛
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      计数与概率
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      计数与概率
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      计数与概率
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      概率计算题
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      计数与概率
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      加法原理与乘法原理
    • 知识点
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      计数与概率
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      随机事件的概率
      >
      古典概型
    答案
    $\dfrac{1}{5}$
    解析
    三位数有 $100$ 到 $999$ 共 $900$ 个，其中含有因数 $5$ 的有$$100=5\cdot 20,105=5\cdot21\cdots,995=5\cdot 199$$共 $180$ 个．依因此 $I$ 含有因数 $5$ 的概率为$$\dfrac {180}{900}=\dfrac{1}{5}.$$
  2. 求 $I$ 中恰有两个数码相等的概率．
    标注
    • 数学竞赛
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      计数与概率
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      计数与概率
    • 题型
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      计数与概率
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      概率计算题
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      计数与概率
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      随机事件的概率
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      古典概型
    • 知识点
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      计数与概率
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      加法原理与乘法原理
    • 方法
      >
      思考方式
      >
      考虑反面
    答案
    $\dfrac{27}{100}$
    解析
    情形一 $I$ 中三个数码均不相等的有 $9\cdot 9\cdot 8=648$ 个；
    情形二 $I$ 中三个数码均相等的有 $9$ 个．
    因此 $I$ 中恰有两个数码相等的概率为$$\dfrac{900-648-9}{900}=\dfrac{27}{100}.$$
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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