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平面几何中有以下结论：设 $O$ 是等腰三角形 $MAB$ 底边 $AB$ 的中点，$MA=MB=1$，过 $O$ 的直线与直线 $MA,MB$ 分别交于 $P,Q$，则 $\dfrac{1}{MP}+\dfrac{1}{MQ}=2$．类比此结论，设 $O$ 为正三棱锥 $M-ABC$ 底面 $ABC$ 的中心，$MA=MB=MC=1$，过 $O$ 的平面与直线 $MA,MB,MC$ 分别交于 $P,Q,R$，则对应的结论是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    利用向量计算空间几何量
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    类比
【答案】
$\dfrac{1}{MP}+\dfrac{1}{MQ}+\dfrac{1}{MR}=3$
【解析】
先证明平面上的结论．考虑到\[\overrightarrow{MO}=\dfrac 12\overrightarrow{MA}+\dfrac 12\overrightarrow{MB}=\dfrac{MA}{2MP}\overrightarrow{MP}+\dfrac{MB}{2MQ}\overrightarrow{MQ},\]由于 $P,O,Q$ 三点共线，于是\[\dfrac{MA}{2MP}+\dfrac{MB}{2MQ}=1,\]因此\[\dfrac{1}{MP}+\dfrac 1{MQ}=2.\]再证明空间上的结论．考虑到\[\overrightarrow{MO}=\dfrac 13\overrightarrow{MA}+\dfrac 13\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\dfrac{MA}{3MP}\overrightarrow{MP}+\dfrac{MB}{3MQ}\overrightarrow{MQ}+\dfrac{MC}{3MR}\overrightarrow{MR},\]由于 $P,Q,R,O$ 四点共面，于是\[\dfrac{MA}{3MP}+\dfrac{MB}{3MQ}+\dfrac{MC}{3MR}=1,\]因此\[\dfrac{1}{MP}+\dfrac 1{MQ}+\dfrac 1{MR}=3.\]
题目 答案 解析 备注
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