题目 给定有限个正数满足条件 $T$：每个数都不大于 $50$ 且总和 $L=1275$．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 $150$ 且分组的步骤是：<br/>首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 $150$ 与这组数之和的差 $r_{i}$ 与所有可能的其他选择相比是最小的，$r_{1}$ 称为第一组余差；<br/>然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为 $r_{2}$；如此继续构成第三组（余差为 $r_{3}$），第四组（余差为 $r_{4}$），$\cdots\cdots$，直至第 $N$ 组（余差为 $r_{N}$）．把这些数全部分完为止． 问题1 判断 $r_{1},r_{2}\cdots,r_{N}$ 的大小关系，并指出除第 $N$ 组外的每组至少含有几个数； 答案1 $r_{1}\leqslant r_{2}\leqslant \cdots\leqslant r_{N}$，$3$ 解析1 由题意得，$$r_{1}\leqslant r_{2}\leqslant \cdots\leqslant r_{N}.$$除第 $N$ 组外的每组至少含有 $\dfrac{150}{50}=3$ 个数． 备注1 问题2 当构成第 $n(n>N)$ 组后，指出余下的每个数与 $r_{n}$ 的大小关系，并证明：$r_{n-1}>\dfrac{150n-L}{n-1}$； 答案2 余下的每个数必大于余差 $r_{n}$，证明略 解析2 当第 $n$ 组形成后，因为 $n<N$，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差 $r_{n}$，余下数之和也大于第 $n$ 组的余差 $r_{n}$，即\[L-\left[(150-r_{1})+(150-r_{2})+\cdots+(150-r_{n})\right]>r_{n}.\]由此可得\[r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n-1}>150n-L.\]所以\[(n-1)r_{n-1}\geqslant r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n-1},\]所以$$r_{n-1}>\dfrac{150n-L}{n-1}.$$ 备注2 问题3 对任何满足条件 $T$ 的有限个正数，证明：$N\leqslant 11$． 答案3 略 解析3 用反证法．<br/>假设 $N>11$，即第 $11$ 组形成后，还有数没分完，由 $(1)$ 和 $(2)$ 可知，余下的每个数都大于第 $11$ 组的余差 $r_{11}$ 且 $r_{11}\geqslant r_{10}$．故余下的每个数均大于$$r_{11}\geqslant r_{10}>\dfrac{150\times 11-1275}{10}=37.5.$$因为第 $11$ 组数中至少含有 $3$ 个数，所以第 $11$ 组数之和大于 $37.5\times 3=112.5$．此时第 $11$ 组的余差 $r_{11}<150-112.537.5<37.5$，矛盾．因此 $N\leqslant 11$． 备注3 <case>注一</case> $N$ 是可以取到 $11$ 的，如 $31$ 个 $40$ 和 $1$ 个 $35$．<br/><case>注二</case>这个问题的实际意义打包快递的模型．