正整数数列 $\{ {x_n}\} $，$\{ {y_n}\} $ 满足：${x_{n + 2}} = 2{x_{n + 1}} + {x_n}$，${y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + 2{y_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}_ + }$）．
证明：存在正整数 ${n_0}$，对任意正整数 $n > {n_0}$，有 ${x_n} > {y_n}$ 恒成立．
证明：存在正整数 ${n_0}$，对任意正整数 $n > {n_0}$，有 ${x_n} > {y_n}$ 恒成立．
【难度】
【出处】
2009年中国科学技术大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然 $\left\{ {{x_n}} \right\},\left\{ {{y_n}} \right\}$ 均为递增数列．\[\begin{split}&{x_{n + 2}} = 2\left( {2{x_n} + {x_{n - 1}}} \right) + {x_n} = 5{x_n} + 2{x_{n - 1}} = 12{x_{n - 1}} + 5{x_{n - 2}} > 12{x_{n - 1}},\\&{y_{n + 2}} = {y_n} + 2{y_{n - 1}} + 2{y_n} = 3{y_n} + 2{y_{n - 1}} = 3{y_{n - 1}} + 8{y_{n - 2}} < 11{y_{n - 1}}.\end{split}\]于是\[\begin{split}&{x_{3k + 1}} > {12^k}{x_1},k = 1,2,3 , \cdots ;\\&{y_{3k + 1}} < {11^k}{y_1},k = 1,2 , 3 , \cdots .\end{split}\]于是$$\dfrac{{{x_{3k + 1}}}}{{{y_{3k + 1}}}} > {\left( {\dfrac{{12}}{{11}}} \right)^k} \cdot \dfrac{{{x_1}}}{{{y_1}}},$$所以存在 ${N_1}$，使得 $n > {N_1}$ 时且项数模 $3$ 余 $1$ 时 ${x_n} > {y_n}$；
类似的，存在 ${N_2}$，使得 $n > {N_2}$ 时且项数模 $3$ 余 $2$ 时 ${x_n} > {y_n}$；
存在 ${N_3}$，使得 $n > {N_3}$ 时且项数模 $3$ 余 $0$ 时 ${x_n} > {y_n}$；
综上，取 ${n_0} = {N_1} + {N_2} + {N_3}$ 即满足题意．
类似的，存在 ${N_2}$，使得 $n > {N_2}$ 时且项数模 $3$ 余 $2$ 时 ${x_n} > {y_n}$；
存在 ${N_3}$，使得 $n > {N_3}$ 时且项数模 $3$ 余 $0$ 时 ${x_n} > {y_n}$；
综上，取 ${n_0} = {N_1} + {N_2} + {N_3}$ 即满足题意．
答案
解析
备注
