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已知函数 $f(x)=\dfrac{2(1-a)+\cos x}{a-\sin^2x}$ 的值域包含区间 $[1,2]$，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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【答案】
$\left[\dfrac 13,\dfrac 34\right)\cup\left(\dfrac 34,\dfrac {33}{32}\right]$
【解析】
函数 $f(x)$ 即$$f(x)=\dfrac{\cos x+2(1-a)}{\cos^2x-(1-a)},$$于是先解决问题以下问题：
已知函数 $y=\dfrac{x+2a}{x^2-a}$（$x\in[-1,1]$ 且 $x^2\neq a$）的值域包含 $[1,2]$，求 $a$ 的取值范围．
考虑先从值域包含 $y=1$ 和 $y=2$ 入手得到必要条件缩小讨论范围，然后再论证充分性．
若值域包含 $y=1$，则$$\begin{cases} x^2-a=x+2a,\\x^2-a\neq 0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} a=\dfrac 13x^2-\dfrac 13x,\\ a\neq x^2,\end{cases}$$如图．可得 $a\in\left[-\dfrac{1}{12},\dfrac 14\right)\cup\left(\dfrac 14,\dfrac 23\right]$．
若值域包含 $y=2$，则$$\begin{cases} 2x^2-2a=x+2a,\\ x^2-a\neq 0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} a=\dfrac 12x^2-\dfrac 14x,\\ a\neq x^2,\end{cases}$$如图．可得 $a\in\left[-\dfrac 1{32},\dfrac 34\right]$．
这样，我们就得到了 $a\in\left[-\dfrac{1}{32},\dfrac 14\right)\cup\left(\dfrac 14,\dfrac 23\right]$．接下来论证充分性．
情形一 $-\dfrac 1{32}\leqslant a<0$ 时，函数连续，因此其值域必然包含 $[1,2]$，符合题意．
情形二 $a=0$ 时，函数为 $y=\dfrac 1x$，因此其值域包含 $[1,2]$，符合题意．
情形三 $0<a<\dfrac 14$ 时，由于$$-\sqrt a<-2a<\sqrt a,$$于是函数在区间 $(-\sqrt a,\sqrt a)$ 上可以取得全体实数（函数在此区间上连续，考虑两边的单边极限即可得到），符合题意．
情形四 $\dfrac 14<a\leqslant \dfrac 23$ 时，函数在 $[-1,-\sqrt a)$ 上单调递增趋于无穷大，而$$f(-1)=\dfrac{2a-1}{1-a}\leqslant 1,$$因此其值域包含 $[1,2]$，符合题意．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{32},\dfrac 14\right)\cup\left(\dfrac 14,\dfrac 23\right]$．
回到原问题，$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,\dfrac 34\right)\cup\left(\dfrac 34,\dfrac {33}{32}\right]$．
答案 解析 备注
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