证明：对于所有的 $n\in\mathbb N^*$，不定方程 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=y^2$ 有正整数解 $(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)$．
【难度】
【出处】
2016年华东师范大学新生入学考试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
从 $3^2+4^2=5^2$ 出发，利用\[n^2+\left(\dfrac{n^2-1}2\right)^2=\left(\dfrac{n^2+1}2\right)^2,\]其中 $n$ 是奇数，可得序列\[3,4,12,84,3612,\cdots,\]其递推公式为 $a_1=3$，$a_2=4$，且\[a_{n+1}=\dfrac {\left(a_n+1\right)^2-1}2=\dfrac{a_n(a_n+2)}2,n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*.\]这个数列的前 $n$（$n\geqslant 2$）项的平方和\[a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=(a_n+1)^2,\]为平方数．因此原命题得证．
答案
解析
备注
