函数 $f(x)$ 的定义域为 $A$，若 $x_1,x_2\in A$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$ 时总有 $x_1=x_2$，则称 $f(x)$ 为单函数．例如，函数 $f(x)=2x+1$（$x\in \mathbb R$）是单函数．下列命题：
① 函数 $f(x)=x^2$（$x\in \mathbb R$）是单函数；
② 若 $f(x)$ 为单函数，$x_1,x_2 \in A$ 且 $x_1\ne x_2$，则 $f(x_1)\ne f(x_2)$；
③ 若 $f:A\to B$ 为单函数，则对于任意 $b\in B$，它至多有一个原象；
④ 函数 $f(x)$ 在某区间上具有单调性，则 $f(x)$ 一定是单函数．
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
① 函数 $f(x)=x^2$（$x\in \mathbb R$）是单函数；
② 若 $f(x)$ 为单函数，$x_1,x_2 \in A$ 且 $x_1\ne x_2$，则 $f(x_1)\ne f(x_2)$；
③ 若 $f:A\to B$ 为单函数，则对于任意 $b\in B$，它至多有一个原象；
④ 函数 $f(x)$ 在某区间上具有单调性，则 $f(x)$ 一定是单函数．
其中的真命题是
【难度】
【出处】
2011年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
②③
【解析】
由题可知单函数即同一个函数值只能对应一个自变量的值，单调函数一定是单函数．
对于 ①：因为 $f(-1)=f(1)=1$，$-1\ne 1$，所以 $f(x)=x^2$ 不是单函数，① 为假命题；
对于 ②：若 $f(x)$ 为单函数，则当 $x_1,x_2 \in A$ 时，由 $f(x_1)= f(x_2)$ 得 $x_1=x_2$，与 $x_1\ne x_2$ 矛盾，故 ② 为真命题；
对于 ③：若 $b$ 是函数值，则有且只有一个原象，若 $b$ 不是函数值，则无原象，故 ③ 为真命题；
对于 ④：在某区间上具在单调性得不到 $f\left(x\right)$ 为单函数，比如函数 $f\left(x\right)=x^2$ 在区间 $\left(0,+\infty\right)$ 上具有单调性，但它在整个定义域上不是单函数，④ 为假命题．
对于 ①：因为 $f(-1)=f(1)=1$，$-1\ne 1$，所以 $f(x)=x^2$ 不是单函数，① 为假命题；
对于 ②：若 $f(x)$ 为单函数，则当 $x_1,x_2 \in A$ 时，由 $f(x_1)= f(x_2)$ 得 $x_1=x_2$，与 $x_1\ne x_2$ 矛盾，故 ② 为真命题；
对于 ③：若 $b$ 是函数值，则有且只有一个原象，若 $b$ 不是函数值，则无原象，故 ③ 为真命题；
对于 ④：在某区间上具在单调性得不到 $f\left(x\right)$ 为单函数，比如函数 $f\left(x\right)=x^2$ 在区间 $\left(0,+\infty\right)$ 上具有单调性，但它在整个定义域上不是单函数，④ 为假命题．
题目
答案
解析
备注
