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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26753 5912ab1fe020e700094b0cd2 高中 解答题 自招竞赛 求证：${\left( {{\mathrm{C}}_n^0} \right)^2} + {\left( {{\mathrm{C}}_n^1} \right)^2} + {\left( {{\mathrm{C}}_n^2} \right)^2} + \cdots + {\left( {{\mathrm{C}}_n^n} \right)^2} = {\mathrm{C}}_{2n}^n$． 2022-04-17 20:53:57
26373 5927d95250ce84000aaca991 高中 解答题 高考真题 已知集合 ${S_n} = \left\{ X \mid X = \left({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\right),{x_i} \in \left\{ 0,1\right\} ,i = 1,2, \cdots ,n\right\} \left(n \geqslant 2\right)$，对于 $A = \left({a_1},{a_2}, \cdots , {a_n} \right)$，$B = \left({b_1},{b_2}, \cdots {b_n},\right) \in {S_n}$，定义 $ A $ 与 $ B $ 的差为 $A - B = \left(|{a_1} - {b_1}|,|{a_2} - {b_2}|, \cdots ,|{a_n} - b_n|\right)$；$ A $ 与 $ B $ 之间的距离为 $\displaystyle d\left(A,B\right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} |{a_i} - {b_i}|$． 2022-04-17 20:20:54
26325 592e3305eab1df00082572ad 高中 解答题 高中习题 已知 $n$ 为正整数，$S_n=\{(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})\mid a_i\in\{0,1\},1\leqslant i\leqslant 2^n\}$，对 $S_n$ 中任意两个元素 $a=(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})$ 和 $b=(b_1,b_2,\cdots,b_{2^n})$，令 $\displaystyle d(a,b)=\sum\limits_{i=1}^{2^n}{|a_i-b_i|}$．若 $A\subseteq S_n$，满足对 $A$ 中任何两个不同的元素 $a$ 和 $b$，都有 $d(a,b)\geqslant 2^{n-1}$，则称 $A$ 为 $S_n$ 的好子集． 2022-04-17 20:54:53
25863 59706aeedbbeff000706d324 高中 解答题 高中习题 若对平面上的某一格点 $P$，连接原点 $O$ 与该点的线段 $OP$ 上没有其他格点，称格点 $P$ 是自原点可见的．求证：平面上任意一点 $P$ 自原点可见的概率大于 $0.5$． 2022-04-17 20:49:49
25392 5909900a38b6b4000adaa251 高中 解答题 自招竞赛 给定空间中 $10$ 个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值． 2022-04-17 20:30:45
25231 592e249eeab1df0007bb8cb6 高中 解答题 高考真题 若 $A_n=\overline{a_1a_2\cdots a_n}$，其中 $a_i=0\lor 1$，$i=1,2,\cdots,n$，则称 $A_n$ 为 $0$ 和 $1$ 的一个 $n$ 位排列．对于 $A_n$，将排列 $\overline{a_na_1a_2\cdots a_{n-1}}$ 记为 $R^1(A_n)$；将排列 $\overline{a_{n-1}a_na_1\cdots a_{n-2}}$ 记为 $R^2(A_n)$；以此类推，直到 $R^n(A_n)=A_n$．对于排列 $A_n$ 和 $R^i(A_n)(i=1,2,\cdots,n)$，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做 $A_n$ 和 $R^i(A_n)$ 的相关值，记作 $t(A_n,R^i(A_n))$．例如 $A_3=\overline{110}$，则 $R^1(A_3)=\overline{011}$，$t(A_3,R^1(A_3))=-1$．若 $t(A_n,R^i(A_n))=-1(i=1,2,\cdots,n-1)$，则称 $A_n$ 为最佳排列． 2022-04-17 20:56:43
23915 59098e0e38b6b400091effc2 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 为给定的不小于 $5$ 的正整数，考察 $n$ 个不同的正整数 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ 构成的集合 $P=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$，若集合 $P$ 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合 $P$ 为"差异集合"． 2022-04-17 20:53:31
23018 59111f69e020e7000a798788 高中 解答题 高中习题 对给定的正整数 $n$，若存在若干个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_k=n(k=1,2,\cdots)$，且 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_k$，则称数列 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为正整数 $n$ 的一个“友数列”．若 $n$ 的所有友数列的个数记为 $M_n$，对任意一个友数列 $\sigma _i^n(i=1,2,\cdots,M_n)$，$A\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中数字 $1$ 出现的个数，$B\left(\sigma _i^n\right)$ 表示数列中出现的不同数字的个数，则研究下列问题： 2022-04-17 20:42:23
22502 5927845474a309000997fbf0 高中 解答题 高考真题 已知每项均是正整数的数列 ${a_1}$，$ {a_2} $，$ {a_3} $，$ \cdots $，${a_{n}}$，其中等于 $i$ 的项有 ${k_i}$ 个 $\left(i = 1,2,3, \cdots \right)$，设 ${b_j} = {k_1} + {k_2} + \cdots + {k_j }\left(j = 1,2,3, \cdots \right)$，$g\left(m\right) = {b_1} + {b_2} + \cdots + {b_m} - nm \left(m = 1,2,3, \cdots \right)$． 2022-04-17 20:48:18
22498 592785dd74a309000798cdc1 高中 解答题 高考真题 对于 $n \in {\mathbb N^{\ast}}\left(n \geqslant 2\right)$，定义一个如下数阵：\[{A_{nn}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right)\]其中对任意的 $1 \leqslant i \leqslant n$，$1 \leqslant j \leqslant n$，当 $i$ 能整除 $j$ 时，${a_{ij}} = 1$；当 $i$ 不能整除 $j$ 时，${a_{ij}} = 0$．设 $\displaystyle t\left(j\right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} = {a_{1j}} + {a_{2j}} + \cdots + {a_{nj}}$．		 2022-04-17 20:46:18
22497 5927866474a309000798cdc4 高中 解答题 高考真题 已知 $S_n=\left\{A \left|\right. A=\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right),a_i\in\{0, 1\},i=1,2,3,\cdots,n\right\}$ $\left(n\geqslant 2\right)$，对于 $U,V \in S_n$，$d\left(U,V\right)$ 表示 $ U $ 和 $ V $ 中相对应的元素不同的个数． 2022-04-17 20:45:18
22479 59bbd5208b403a0008ec5ebb 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$． 2022-04-17 20:36:18
21759 59477509a26d280009c98c6c 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:57:11
21756 590ad9fd6cddca00078f39db 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:55:11
15700 590ad3c16cddca00092f703e 高中 解答题 自招竞赛 已知集合$$S_n=\left\{X\mid X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),x_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots ,n\right\},n\geqslant 2,$$对于$$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in S_n,B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)\in S_n,$$定义 $A$ 与 $B$ 的差为$$A-B=\left(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots ,|a_n-b_n|\right),$$且 $A$ 与 $B$ 之间的距离为$$d(A,B)=\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|.$$ 2022-04-17 19:08:16
15485 596883ad22d140000ac07f21 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A$ 是所有十进制表示中的数码不包含 $2,0,1,6$ 的正整数 $x$ 构成的集合．证明：集合 $A$ 中的所有元素的倒数之和 $\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<3$． 2022-04-17 19:04:14
9509 592d1ae6eab1df00095843ce 高中 填空题 高中习题 对于 $n\in\mathbb N^*$，将 $n$ 表示为 $n=a_k\times2^k+a_{k-1}\times2^{k-1}+\cdots+a_i\times2^i+\cdots+a_0\times2^0$，当 $i=k$ 时，$a_i=0$，当 $0\leqslant i\leqslant k-1$ 时，$a_i$ 为 $0$ 或 $1$．．记 $I(n)$ 为上述表示 $a_i$ 中为 $0$ 的个数，（例如 $1=1\times2^0,4=1\times2^2+0\times2^1+0\times2^0$ 故 $I(1)=0,I(4)=2$）则
$(1)$ $I(12)=$  ；
$(2)$ $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=$  ．		 2022-04-16 22:43:09
8875 590ae11f6cddca0008610f71 高中 填空题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\left[\dfrac{a_n}2\right]$，且 $a_1=34567$，则其前 $n$ 项和的最大值为 ． 2022-04-16 22:53:03
8650 59ba35d398483e0009c73188 高中 填空题 高中习题 将 $n$ 个不同的小球放入 $n$ 个不同的盒子，设每个球落入各个盒子的可能性是相同的，则空盒子个数的数学期望是 ． 2022-04-16 22:56:01
7837 59111ea740fdc7000841c777 高中 填空题 高中习题 某次测试成绩满分为 $150$ 分，设 $n$ 名学生的得分分别为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$a_i\in\mathbb{N}$，$1\leqslant i\leqslant n$），$b_k$（$1\leqslant k\leqslant 150$）为 $n$ 名学生中得分至少为 $k$ 分的人数．设 $M$ 为 $n$ 名学生的平均成绩，记 $N=\dfrac {b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为 ． 2022-04-16 21:28:54
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