给定空间中 $10$ 个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
$15$
【解析】
记这 $10$ 个点分别为 $P_i$ 且从 $P_i$ 点引出了 $a_i$ 条线段，其中 $i=1,2,\cdots ,10$．这样图形中总共包含 $\displaystyle \dfrac 12\sum_{i=1}^{10}a_i$ 条线段和 $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}{\rm C}_{a_i}^2$ 个角．根据题意，图形中没有空间四边形，因此任何一个角都与一个点对 $(P_m,P_n)$ 一一对应，且不存在线段 $P_mP_n$．这样就有$$\dfrac 12\sum_{i=1}^{10}a_i+\sum_{i=1}^{10}{\rm C}_{a_i}^2=\dfrac 12\sum_{i=1}^{10}a_i^2\leqslant {\rm C}_{10}^2,$$于是所连线段数目$$\dfrac 12\sum_{i=1}^{10}a_i\leqslant \dfrac 12\sqrt{10\cdot \sum_{i=1}^{10}a_i^2}=15.$$接下来构造包含 $15$ 条线段的图形，此时从每个顶点出发的线段数均为 $3$，如图．
答案
解析
备注
