已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\left[\dfrac{a_n}2\right]$，且 $a_1=34567$，则其前 $n$ 项和的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 69127 $
【解析】
考虑到$$34567_{(10)}=1000011100000111_{(2)},$$而每次除以 $2$ 取整相当于抹掉二进制数的最后一位，于是所求的最大值\[\begin{split} M&=1000011100000111_{(2)}+100001110000011_{(2)}+\cdots+10_{(2)} +1_{(2)}\\
&=\left(\underbrace{11\cdots 1}_{16 \text{个} }+\underbrace{11\cdots 1}_{10 \text{个} }+\cdots +1\right)_{(2)}\\
&=\left(\underbrace{11\cdots 1}_{16 \text{个} }+1+\underbrace{11\cdots 1}_{10 \text{个} }+1+\cdots +1+1\right)_{(2)}-7\\
&=10000111000001110_{(2)}-7_{(10)}\\
&=2a_1-7\\
&=69127.\end{split}\]
&=\left(\underbrace{11\cdots 1}_{16 \text{个} }+\underbrace{11\cdots 1}_{10 \text{个} }+\cdots +1\right)_{(2)}\\
&=\left(\underbrace{11\cdots 1}_{16 \text{个} }+1+\underbrace{11\cdots 1}_{10 \text{个} }+1+\cdots +1+1\right)_{(2)}-7\\
&=10000111000001110_{(2)}-7_{(10)}\\
&=2a_1-7\\
&=69127.\end{split}\]
题目
答案
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