某次测试成绩满分为 $150$ 分，设 $n$ 名学生的得分分别为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$a_i\in\mathbb{N}$，$1\leqslant i\leqslant n$），$b_k$（$1\leqslant k\leqslant 150$）为 $n$ 名学生中得分至少为 $k$ 分的人数．设 $M$ 为 $n$ 名学生的平均成绩，记 $N=\dfrac {b_1+b_2+\cdots+b_{150}}{n}$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$M=N$
【解析】
我们需要搞清楚 $N$ 的含义，我们将 $b_k$ 进行拆分，记这 $n$ 名学生中得分为 $i$ 分的人数为 $c_i$，则 $0\leqslant i\leqslant 150$，且$$c_0+c_1+c_2+\cdots+c_{150}=n.$$由题意知$$b_k=c_k+c_{k+1}+\cdots+c_{150},$$于是\[\begin{split} &{b_1+b_2+\cdots+b_{150}}\\=&(c_1+c_2+\cdots+c_{150})+(c_2+c_3+\cdots+c_{150})+\cdots+c_{150}\\=&c_1+2c_2+3c_3+\cdots+150c_{150}.\end{split}\]这 $n$ 名同学的得分总和可以用两种方法计算得到，一是将每名同学的得分直接相加，即$$a_1+a_2+\cdots+a_n=nM.$$另一种方法是先将得分按分数分类，然后每个分数乘以得到这个分数的人数，即$$0\cdot c_0+1\cdot c_1+2\cdot c_2+\cdots+150c_{150}=b_1+b_2+\cdots+b_{150}.$$从而有$$nM=b_1+b_2+\cdots+b_{150}.$$所以有 $M=N$．
题目
答案
解析
备注
