题目 若 $A_n=\overline{a_1a_2\cdots a_n}$，其中 $a_i=0\lor 1$，$i=1,2,\cdots,n$，则称 $A_n$ 为 $0$ 和 $1$ 的一个 $n$ 位排列．对于 $A_n$，将排列 $\overline{a_na_1a_2\cdots a_{n-1}}$ 记为 $R^1(A_n)$；将排列 $\overline{a_{n-1}a_na_1\cdots a_{n-2}}$ 记为 $R^2(A_n)$；以此类推，直到 $R^n(A_n)=A_n$．对于排列 $A_n$ 和 $R^i(A_n)(i=1,2,\cdots,n)$，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做 $A_n$ 和 $R^i(A_n)$ 的相关值，记作 $t(A_n,R^i(A_n))$．例如 $A_3=\overline{110}$，则 $R^1(A_3)=\overline{011}$，$t(A_3,R^1(A_3))=-1$．若 $t(A_n,R^i(A_n))=-1(i=1,2,\cdots,n-1)$，则称 $A_n$ 为最佳排列． 问题1 写出所有的最佳排列 $A_3$； 答案1 $\overline{001},\overline{010},\overline{100},\overline{011},\overline{101},\overline{110}$ 解析1 $A_3$ 为 $3$ 位排列，因此最佳排列 $A_3$ 满足 $R^i(A_3)(i=1,2,\cdots,n)$ 中 $A_3$ 对应位置数字相同的个数与对应位置数字不同分别为 $1$ 和 $2$．$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A_5&a_1&a_2&a_3 \\<br/>\hline R^1(A_3)&a_3&a_1&a_2\\ \hline R^2(A_3)&a_2&a_3&a_1\\ \hline\end{array}$$考虑 $A_3$ 与 $R^1(A_3)$，有$$|a_1-a_3|+|a_2-a_1|+|a_3-a_2|=2,$$考虑 $A_3$ 与 $R^2(A_3)$，有$$|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_1|=2.$$假设 $A_3$ 中有 $x$ 个 $1$，$3-x$ 个 $0$，则$$x(3-x)=2,$$所以 $x=1$ 或 $x=2$．<br/>因此所有最佳排列为 $\overline{001},\overline{010},\overline{100},\overline{011},\overline{101},\overline{110}$． 备注1 问题2 证明：不存在最佳排列 $A_5$； 答案2 略 解析2 $A_5$ 为 $5$ 位排列，因此最佳排列 $A_5$ 满足 $R^i(A_5)(i=1,2,3,4)$ 中 $A_5$ 对应位置数字相同的个数与对应位置数字不同的个数分别为 $2$ 和 $3$．$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline A_5&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\ \hline R^1(A_5)&a_5&a_1&a_2&a_3&a_4\\ \hline R^2(A_5)&a_4&a_5&a_1&a_2&a_3\\ \hline R^3(A_5)&a_3&a_4&a_5&a_1&a_2\\ \hline R^4(A_5)&a_2&a_3&a_4&a_5&a_1\\ \hline\end{array}$$与 $(1)$ 相同，将四个和式相加，有$$\sum\limits_{i\ne j}^{1\leqslant i,j\leqslant n}{|a_i-a_j|}=3\cdot4,$$假设 $A_5$ 中有 $x$ 个 $1$，$5-x$ 个 $0$，则$$ x(5-x)=6,$$所以 $x=2$ 或 $x=3$．<br/>此时考虑$$t(A_5,R^1(A_6))=|a_1-a_5|+|a_2-a_1|+|a_3-a_2|+|a_4-a_3|+|a_5-a_4|,$$无论如何排列该值始终为偶数，不可能为 $-1$．<br/>所以不存在最佳排列 $A_5$． 备注2 也可考虑 $a_5\to a_1\to a_2\to a_3\to a_4\to a_5$ 共 $5$ 次变化中，奇偶性只变化 $3$ 次，矛盾． 问题3 若某个 $A_{2k+1}$（$k$ 是正整数）为最佳排列，求排列 $A_{2k+1}$ 中 $1$ 的个数． 答案3 $k$ 或 $k+1$ 解析3 与 $(1)$ $(2)$ 类似，假设 $A_{2k+1}$ 中有 $x$ 个 $1$，$2k+1-x$ 个 $0$，则$$x(2k+1-x)=\dfrac{2k(k+1)}{2},$$所以 $x=k$ 或 $x=k+1$． 备注3