对于 $n\in\mathbb N^*$，将 $n$ 表示为 $n=a_k\times2^k+a_{k-1}\times2^{k-1}+\cdots+a_i\times2^i+\cdots+a_0\times2^0$，当 $i=k$ 时，$a_i=0$，当 $0\leqslant i\leqslant k-1$ 时，$a_i$ 为 $0$ 或 $1$．．记 $I(n)$ 为上述表示 $a_i$ 中为 $0$ 的个数，（例如 $1=1\times2^0,4=1\times2^2+0\times2^1+0\times2^0$ 故 $I(1)=0,I(4)=2$）则
$(1)$ $I(12)=$ ；
$(2)$ $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=$ ．
$(1)$ $I(12)=$
$(2)$ $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1)$ $2$；$(2)$ $1093$
【解析】
阅读信息后可知 $\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_0}$ 是的二进制表示，即$$1=1,2=10,3=11,4=100,5=101,6=110,7=111,8=1000,9=1001,\cdots,$$于是 $b_n:1,1,0,1,0,0,1,1,0,0$，因此
$(1)$ $12=1100$，$I(12)=2$；
$(2)$ 要计算 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}$ 的值，基本的想法是求出 $I(n)$ 的通项公式后求和．
观察$$I(n):0,1,0,2,1,1,0,3,2,2,1,2,\cdots,$$我们发现：
① 通项的规律不明显；
② $I(2^m-1)=0$，其中 $m\in\mathbb N^*$．
据此调整思考的方向，我们可以去统计 $I(1),I(2),\cdots,I(127)$ 中 $0,1,2,3,4,5,6$ 的个数（考虑到 $127=1111111$），然后再求和．
显然 $0$ 的个数为 $7$，分别为$$I(2-1),I(2^2-1),\cdots,I(2^7-1),$$现在的问题是，在 $I(1),I(2),\cdots,I(127)$ 中，$k(1\leqslant k\leqslant6)$ 有多少个？
考虑到每个数的二进制表示去掉一定为 $1$ 的最高位后都是由 $0,1$ 组合而成，于是在 $I(1),I(2),\cdots,I(127)$ 中，$k$ 的个数为$$\mathrm{C}_k^k+\mathrm{C}_{k+1}^k+\cdots+\mathrm{C}_6^k,$$因此\[\begin{split}\sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}&=7\cdot2^0+(\mathrm{C}_1^1+\mathrm{C}_2^1+\cdots+\mathrm{C}_6^1)\cdot2^1+(\mathrm{C}_2^2+\mathrm{C}_3^2+\cdots+\mathrm{C}_6^2)\cdot2^2+\cdots+\mathrm{C}_6^6\cdot2^6\\&=1+(\mathrm{C}_1^0\cdot2^0+\mathrm{C}_1^1\cdot2^1)+(\mathrm{C}_2^0\cdot2^0+\mathrm{C}_2^1\cdot2^1+\mathrm{C}_2^2\cdot2^2)+\cdots+(\mathrm{C}_6^0\cdot2^0+\mathrm{C}_6^1\cdot2^1+\cdots+\mathrm{C}_6^6\cdot2^6)\\&=1+(1+2)^1+(1+2)^2+\cdots+(1+2)^6\\&=3^0+3^1+3^2+\cdots+3^6\\&=1093 \end{split}\]
$(1)$ $12=1100$，$I(12)=2$；
$(2)$ 要计算 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}$ 的值，基本的想法是求出 $I(n)$ 的通项公式后求和．
观察$$I(n):0,1,0,2,1,1,0,3,2,2,1,2,\cdots,$$我们发现：
① 通项的规律不明显；
② $I(2^m-1)=0$，其中 $m\in\mathbb N^*$．
据此调整思考的方向，我们可以去统计 $I(1),I(2),\cdots,I(127)$ 中 $0,1,2,3,4,5,6$ 的个数（考虑到 $127=1111111$），然后再求和．
显然 $0$ 的个数为 $7$，分别为$$I(2-1),I(2^2-1),\cdots,I(2^7-1),$$现在的问题是，在 $I(1),I(2),\cdots,I(127)$ 中，$k(1\leqslant k\leqslant6)$ 有多少个？
考虑到每个数的二进制表示去掉一定为 $1$ 的最高位后都是由 $0,1$ 组合而成，于是在 $I(1),I(2),\cdots,I(127)$ 中，$k$ 的个数为$$\mathrm{C}_k^k+\mathrm{C}_{k+1}^k+\cdots+\mathrm{C}_6^k,$$因此\[\begin{split}\sum\limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}&=7\cdot2^0+(\mathrm{C}_1^1+\mathrm{C}_2^1+\cdots+\mathrm{C}_6^1)\cdot2^1+(\mathrm{C}_2^2+\mathrm{C}_3^2+\cdots+\mathrm{C}_6^2)\cdot2^2+\cdots+\mathrm{C}_6^6\cdot2^6\\&=1+(\mathrm{C}_1^0\cdot2^0+\mathrm{C}_1^1\cdot2^1)+(\mathrm{C}_2^0\cdot2^0+\mathrm{C}_2^1\cdot2^1+\mathrm{C}_2^2\cdot2^2)+\cdots+(\mathrm{C}_6^0\cdot2^0+\mathrm{C}_6^1\cdot2^1+\cdots+\mathrm{C}_6^6\cdot2^6)\\&=1+(1+2)^1+(1+2)^2+\cdots+(1+2)^6\\&=3^0+3^1+3^2+\cdots+3^6\\&=1093 \end{split}\]
题目
答案
解析
备注
