题目 已知集合$$S_n=\left\{X\mid X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),x_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots ,n\right\},n\geqslant 2,$$对于$$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in S_n,B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)\in S_n,$$定义 $A$ 与 $B$ 的差为$$A-B=\left(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots ,|a_n-b_n|\right),$$且 $A$ 与 $B$ 之间的距离为$$d(A,B)=\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|.$$ 问题1 对任意 $A,B,C\in S_n$，证明：$d(A-C,B-C)=d(A,B)$，且 $d(A,B)$，$d(A,C)$，$d(B,C)$ 三个数中至少有一个是偶数； 答案1 略 解析1 $d(A-C,B-C)=d(A,B)$ 显然成立．<br/>因为 $(a_i-b_i)+(b_i-c_i)+(c_i-a_i)=0$，而 $(a_i-b_i)+(b_i-c_i)+(c_i-a_i)$ 与 $|a_i-b_i|+| b_i-c_i |+| c_i-a_i |$ 的奇偶性相同，故 $d(A,B)+d(A,C)+d(B,C)$ 是偶数．所以 $d(A,B),d(A,C),d(B,C)$ 三个数中至少有一个是偶数． 备注1 问题2 设 $P\subseteq S_n$，$P$ 中有 $m$（$m\geqslant 2$）个元素，记 $P$ 中所有两元素间的距离的平均值为 $\overline{d}(P)$，证明：$\overline{d}(P)\leqslant \dfrac{mn}{2(m-1)}$． 答案2 略 解析2 根据定义，有$$\overline{d}(P)=\dfrac{1}{\mathrm C_m^2}\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B),$$其中 $\displaystyle \sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)$ 表示 $P$ 中所有两个元素间距离的总和．<br/>设 $P$ 中所有元素的第 $i$ 个位置的数字中共有 $t_i$ 个 $1$，$m-t_i$ 个 $0$，则$$\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)=\sum\limits_{i=1}^n t_i(m-t_i).$$由于 $t_i(m-t_i)\leqslant \dfrac{m^2}{4}(i=1,2,\cdots,n)$，所以 $\displaystyle \sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)\leqslant \dfrac{nm^2}{4}$．<br/>从而 $\displaystyle \overline{d}(P)=\dfrac{1}{\mathrm C_m^2}\sum \limits_{A,B\in P}d(A,B)\leqslant \dfrac{nm^2}{4\mathrm C_m^2}=\dfrac{mn}{2(m-1)}$． 备注2 问题3 当 $n=3$ 时，若 $M$ 满足：$M\subseteq S_3$ 且 $M$ 中元素间的距离均为 $2$，试写出含有元素个数最多的所有集合 $M$． 答案3 $M=\{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ 或 $M=\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)\}$ 解析3 $S_3$ 中含有 $8$ 个元素，可将其看成正方体的 $8$ 个顶点．易知集合 $M$ 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点处．所以集合$$M=\{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$$或$$M=\{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)\}.$$ 备注3