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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27473 59439105a26d28000bb86e53 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\geqslant 2$）是实数，证明：可以选取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}$，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\] 2022-04-17 21:34:04
27440 59098e1a38b6b400091effc5 高中 解答题 高中习题 设集合 $A$ 是整数集 $\mathbb Z$ 的子集，其中有正有负，且 $a,b\in A$（$a,b$ 可以相等），则 $a+b\in A$．求证：若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$． 2022-04-17 21:15:04
25982 597ea2f3d05b90000addb38d 高中 解答题 高中习题 有 $n$ 支队伍参加单循环比赛，若某三支队伍 $A,B,C$ 出现 $A$ 击败 $B$，$B$ 击败 $C$，$C$ 击败 $A$，则称三支队伍 $A,B,C$ 构成一个“循环小组”． 2022-04-17 20:55:50
25311 59126b5fe020e700094b0ac0 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=(x-1)^3-ax-b$，$x\in \mathbb R$，其中 $a,b\in \mathbb R$． 2022-04-17 20:41:44
23916 59098d1b38b6b40008d7bb55 高中 解答题 高中习题 已知集合 $S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 3$），集合 $T\subseteq\left\{\left(x,y\right)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\right\}$ 且满足 $\forall a_i,a_j\in S$（$i,j=1,2,3,\cdots,n,i\neq j$），$\left(a_i,a_j\right)\in T$ 与 $\left(a_j,a_i\right)\in T$ 恰有一个成立．对于 $T$ 定义$$d_T(a,b)=\begin{cases}1,(a,b)\in T,\\0,(b,a)\in T,\end{cases}$$以及$$\begin{split} l_T\left(a_i\right)=d_T\left(a_i,a_1\right)+d_T\left(a_i,a_2\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_{i-1}\right)+d_T\left(a_i,a_{i+1}\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_n\right),&\\i=1,2,3,\cdots,n.&\end{split}$$ 2022-04-17 20:54:31
23915 59098e0e38b6b400091effc2 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 为给定的不小于 $5$ 的正整数，考察 $n$ 个不同的正整数 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ 构成的集合 $P=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$，若集合 $P$ 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合 $P$ 为"差异集合"． 2022-04-17 20:53:31
23833 59098ac639f91d0008f05085 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=8x^3+ax^2+bx$，是否存在实数 $a,b$，使得对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|f(x)|\leqslant 2$．若存在，求出 $a,b$ 的值；若不存在，请说明理由． 2022-04-17 20:16:31
23139 5909927d38b6b400091efff0 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=\left|ax+b-\sqrt x\right|,x\in [0,4]$，其中 $a,b$ 为实数．设 $f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，求 $M(a,b)$ 的最小值． 2022-04-17 20:46:24
23084 590bf394d42ca7000a7e7e03 高中 解答题 高中习题 若对任何满足 $-1\leqslant x\leqslant 1$ 的实数 $x$，都有 $\left|ax^2+bx+c\right|\leqslant 1$ 成立，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:18:24
23017 591121e5e020e70007fbe9a8 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathbb R$，且 $a\neq 0$．记 $M(a,b,c)$ 为 $|f(x)|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值，$M(a,b,c)\leqslant 2$，求 $2|a|+|b|$ 的最大值． 2022-04-17 20:41:23
22954 591174a5e020e70007fbeabe 高中 解答题 高中习题 已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)=\dfrac{2^x+b}{2^{x+1}+a}$ 是奇函数，求 $a,b$ 的值． 2022-04-17 20:08:23
22303 5a164812feda740009b6eaff 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+bx+c\right)$，$x\in[-1,1]$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M(b,c)$，当 $b,c$ 变化时，求 $M(b,c)$ 的最小值． 2022-04-17 20:03:17
22087 5a2f966f8755e900075a364a 高中 解答题 高中习题 设 $F(x)=|f(x)\cdot g(x)|$，$x\in[-1,1]$，其中 $f(x)=ax^2+bx+c$，$g(x)=cx^2+bx+a$，且对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|g(x)|\leqslant 1$，求 $F(x)$ 的最大值． 2022-04-17 20:57:14
21996 59084269060a050008e6228c 高中 解答题 高中习题 已知对任意 $x\in [0,1]$，均有 $\big|ax^2+bx+c\big|\leqslant 1$，求 $\big|cx^2+bx+a\big|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值． 2022-04-17 20:06:14
21766 5927db1f50ce840009d770a0 高中 解答题 高中习题 在数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c{a_n} + {c^{n + 1}}\left(2n + 1\right)\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$，其中实数 $c \ne 0$． 2022-04-17 20:01:12
15746 59093d49060a05000b3d1f24 高中 解答题 高中习题 求函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}$ 的值域． 2022-04-17 19:34:16
15689 590be03c6cddca0008611036 高中 解答题 高中习题 设 $f(x),g(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的函数，求证：存在 $x,y\in [0,1]$，使 $\left|xy-f(x)-g(y)\right|\geqslant \dfrac 14$． 2022-04-17 19:01:16
15407 597ea006d05b90000addb376 高中 解答题 高中习题 对于一个 $n$（$n \geqslant 3$）元点集，$n$ 个点不全在一条直线上．求证：一定存在某两个点，连接它们的直线上不存在 $n$ 元点集中的其他点（其逆否命题为“对于一个 $n$ 元点集，若其中任意两点连线上还存在其他点，则这 $n$ 个点共线”．）． 2022-04-17 19:23:13
14545 590bd6336cddca000a081b15 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)=x(1+a|x|)$，设关于 $x$ 的不等式 $f(x+a)<f(x)$ 的解集为 $M$，若 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M$，则实数 $a$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:32:59
11096 5948efebd37330000b658944 高中 填空题 高中习题 平面内向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$ 满足 $\Big|\overrightarrow a\Big|=\Big|\overrightarrow b\Big|=2$，$\Big|\overrightarrow c\Big|=1$，$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则 $\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:18:24
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