设 $\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$，$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$，$\overrightarrow c=\overrightarrow {OC}$，于是条件 $(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$ 即$$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {BC}=0.$$由题意知 $A,B$ 在以 $O$ 为圆心，$2$ 为半径的圆上运动；$C$ 在以 $O$ 为圆心，$1$ 为半径的圆上运动，且有 $AC\perp BC$，即点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上．$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|=AB$，下面考虑 $AB$ 长度的取值范围．
因为 $OM\perp AB$，考虑点 $M$ 在大圆 $O$（半径为 $2$ 的圆）的一条半径上运动，过 $M$ 作 $AB\perp OM$，与大圆相交于 $A,B$ 两点，再以 $M$ 为圆心，$\dfrac 12AB$ 为半径作圆 $M$，若圆 $M$ 与小圆 $O$（半径为 $1$ 的圆）有公共点，则对应的 $A,B$ 满足要求．
于是得到两个临界情况，下图是 $AB$ 取到最小值时情况：记 $r=\dfrac 12AB$，在 $\triangle OAM$ 中，有 $r^2+(r+1)^2=2^2$，解得 $r=\dfrac{\sqrt 7-1}{2}$．
下图是 $AB$ 取到最大值时的情况：在 $\triangle OAM$ 中，有 $r^2+(r-1)^2=2^2$，解得 $r=\dfrac{\sqrt 7+1}{2}$，于是得到 $AB=2r$ 的取值范围．