已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathbb R$，且 $a\neq 0$．记 $M(a,b,c)$ 为 $|f(x)|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值，$M(a,b,c)\leqslant 2$，求 $2|a|+|b|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
猜想当抛物线在矩形区域内尽量“舒展”时 $2|a|+|b|$ 取得最大值，此时抛物线解析式为 $y=4x^2-2$，如图．
因为 $2|a|+|b|=\max\{|2a+b|,|2a-b|\}$，又有$$f(0)=c,f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c,$$所以由待定系数法可知$$|2a+b|=\left|\dfrac 32f(1)+\dfrac 12f(-1)-2f(0)\right |\leqslant \dfrac 32|f(1)|+\dfrac 12|f(-1)|+2|f(0)|\leqslant 8.$$类似有$$|2a-b|=\left|\dfrac 12f(1)+\dfrac 32f(-1)-2f(0)\right |\leqslant 8.$$所以 $2|a|+|b|\leqslant 8$．
因为 $2|a|+|b|=\max\{|2a+b|,|2a-b|\}$，又有$$f(0)=c,f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c,$$所以由待定系数法可知$$|2a+b|=\left|\dfrac 32f(1)+\dfrac 12f(-1)-2f(0)\right |\leqslant \dfrac 32|f(1)|+\dfrac 12|f(-1)|+2|f(0)|\leqslant 8.$$类似有$$|2a-b|=\left|\dfrac 12f(1)+\dfrac 32f(-1)-2f(0)\right |\leqslant 8.$$所以 $2|a|+|b|\leqslant 8$．
答案
解析
备注
