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已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)=\dfrac{2^x+b}{2^{x+1}+a}$ 是奇函数，求 $a,b$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    从极端情形出发
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
【答案】
$a=2$，$b=-1$
【解析】
方法一根据奇函数的定义，有$$\forall x\in \mathbb R,f(x)+f(-x)=0,$$即$$\forall x\in\mathbb R,\dfrac{2^x+b}{2^{x+1}+a}+\dfrac{2^{-x}+b}{2^{-x+1}+a}=0,$$也即$$\forall x\in\mathbb R,(a+2b)\left(2^x+2^{-x}\right)+2ab+4=0,$$于是$$\begin{cases} a+2b=0,\\ 2ab+4=0,\end{cases}$$解得 $a=2$，$b=-1$．
回顾解法，感觉该解法笨重，考虑利用特殊点代替一般情形，这样就得到下面的解法：
方法二由于对任意实数 $x$，均有 $f(x)+f(-x)=0$，因此$$\begin{cases} f(0)=0,\\ f(1)+f(-1)=0.\end{cases}$$由第一个方程可得 $b=-1$，代入第二个方程有$$\dfrac{1}{a+4}-\dfrac{1}{2a+2}=0,$$解得 $a=2$．
回顾解法，想一想，还有没有比 $f(1),f(-1)$ 更好计算的函数值呢？
方法三在令 $x=0$ 得到 $b=-1$ 后，考虑到$$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\dfrac 12,\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\dfrac 1a,$$因此 $a=2$，如图．
答案 解析 备注
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