题目 设函数 $f(x)=(x-1)^3-ax-b$，$x\in \mathbb R$，其中 $a,b\in \mathbb R$． 问题1 求 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,+\infty)$；没有单调递减区间．<br/>当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt{3a}}3+1\right)$ 和 $\left(\dfrac{\sqrt{3a}}3+1,+\infty\right)$；单调递减区间是 $\left(-\dfrac{\sqrt{3a}}3+1,\dfrac{\sqrt{3a}}3+1\right)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)=3(x-1)^2-a$．<br/><case>情形一</case> $a\leqslant 0$．<br/>此时恒有 $f'(x)\geqslant 0$，于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,+\infty)$，没有单调递减区间．<br/><case>情形二</case> $a>0$．<br/>此时函数 $f'(x)$ 有两个零点，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt{3a}}3+1\right)$ 和 $\left(\dfrac{\sqrt{3a}}3+1,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(-\dfrac{\sqrt{3a}}3+1,\dfrac{\sqrt{3a}}3+1\right)$． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$，且 $f(x_1)=f(x_0)$，其中 $x_1\neq x_0$，求证：$x_1+2x_0=3$； 答案2 略 解析2 因为 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，故由第 $(1)$ 问可知：$a>0$，且 $f'(x_0)=0$，即$$a=3\left(x_0-1\right)^2 >0.$$由题意可知，关于 $ x $ 的方程 $ f(x)=f \left(x_0\right)$ 有且只有两个不同的实根 $ x_0,x_1 $．<br/>因为\[\begin{split}f \left(3-2x_0\right) &=\left(2-2x_0\right)^3-3\left(x_0-1\right)^2\left(3-2x_0\right)-b\\&=\left(x_0-1\right)^2\cdot\left(-2x_0-1\right)-b\\&=\left(x_0-1\right)^3-3x_0\left(x_0-1\right)^2-b\\&=\left(x_0-1\right)^3-ax_0-b\\&=f\left(x_0\right), \end{split}\]且$$ 3-2x_0\ne x_0.$$（否则由 $ x_0=1 $ 可推出 $ a=0 $，矛盾）<br/>故 $ 3-2x_0=x_1 $，即 $ x_1+2x_0=3$． 备注2 问题3 设 $a>0$，函数 $g(x)=|f(x)|$，求证：$g(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\dfrac 14$． 答案3 略 解析3 用反证法．假设 $g(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值小于 $\dfrac 14$．<br/>考虑$$\begin{cases}f(0)=-1-b,\\f(2)=1-2a-b,\\f \left(\dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{1}{8}-\dfrac{3}{2}a-b,\\f \left(\dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}a-b, \end{cases}$$我们有$$\begin{cases}2-2a=f(2)-f(0),\\a- \dfrac{1}{4}=f \left(\dfrac{1}{2} \right)-f \left(\dfrac{3}{2} \right), \end{cases}$$所以$$2f \left(\dfrac{1}{2} \right)-2f \left(\dfrac{3}{2} \right)+f(2)-f(0)=\dfrac{3}{2}, $$但是$$\begin{split} &\left|2f \left(\dfrac{1}{2} \right)-2f \left(\dfrac{3}{2} \right)+f(2)-f(0)\right|\\\leqslant &2\left|f\left(\dfrac{1}{2} \right) \right|+2\left|f\left(\dfrac{3}{2} \right) \right|+\left|f\left(2 \right) \right|+\left|f\left(0 \right) \right|\\<&\dfrac{3}{2},\end{split} $$矛盾．所以 $g(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\dfrac 14$． 备注3