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已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+bx+c\right)$，$x\in[-1,1]$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M(b,c)$，当 $b,c$ 变化时，求 $M(b,c)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    从极端情形出发
  • 知识点
    >
    函数
    >
    根与系数的关系
  • 知识点
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    函数
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    常见初等函数
    >
    多项式函数
【答案】
$3-2\sqrt 2$
【解析】
猜想 $b=0$ 且此时\[f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+c\right)\]的极大值与极小值互为相反数时 $M(b,c)$ 取得最小值．此时\[\left(\dfrac{1+c}2\right)^2+c=0,\]解得\[c=2\sqrt 2-3,\]且对应的\[M\left(0,2\sqrt 2\right)=3-2\sqrt 2.\]接下来进行证明\[\forall b,c\in\mathbb R,\exists x\in [-1,1],|f(x)|\geqslant 3-2\sqrt 2.\]考虑到该情形下极值点为 $x=\pm\sqrt{2-\sqrt 2},0$，于是\[\begin{split}
f\left(\sqrt {2-\sqrt 2}\right)&=\left(\sqrt 2-1\right)\left(2-\sqrt 2+\sqrt{2-\sqrt 2}\cdot b+c\right),\\
f\left(-\sqrt {2-\sqrt 2}\right)&=\left(\sqrt 2-1\right)\left(2-\sqrt 2-\sqrt{2-\sqrt 2}\cdot b+c\right),\\
f(0)&=c,\end{split}\]于是\[\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}+\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}=2\sqrt 2+\left(2\sqrt 2-2\right)\cdot \dfrac{f(0)}{3-2\sqrt 2},\]若\[-1< \dfrac{f(0)}{3-2\sqrt 2}< 1,\]则\[2<\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}+\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}<4\sqrt 2-2,\]于是必然有\[\max\left\{\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2},\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}\right\}>1,\]因此结论得证．
综上所述，$M(b,c)$ 的最小值为 $3-2\sqrt 2$，当 $(b,c)=\left(0,2\sqrt 2-3\right)$ 时取得．
答案 解析 备注
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