设函数 $f(x)=\left|ax+b-\sqrt x\right|,x\in [0,4]$，其中 $a,b$ 为实数．设 $f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，求 $M(a,b)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac 14 $
【解析】
记 $O(0,0)$，$A(4,2)$，抛物线段 $E:y=\sqrt x,x\in [0,4]$．$f(x)$ 的含义是抛物线段 $E$ 上的点与线段 $y=ax+b,x\in [0,4]$ 上的点的"竖直距离"（即横坐标相同的点之间的纵坐标之差），这个距离的最大值为 $M(a,b)$．
首先，任意一条与抛物线段 $E$ 无公共点的线段，都可以通过平移使其与抛物线段 $E$ 有公共点，并且在此过程中 $M(a,b)$ 变小，如图．
接下来，将与抛物线段 $E$ 有公共点的线段的斜率调整到 $\dfrac{1}{2}$，在调整过程中，$M(a,b)$ 变小或不变，如图．
最后，在斜率为 $\dfrac{1}{2}$，且位于抛物线段 $E$ 的切线（$y=\dfrac 12x+\dfrac 12$）和割线（$y=\dfrac 12x$）之间的线段中，位于居中位置的 $y=\dfrac 12x+\dfrac 14$ 使得 $M(a,b)$ 最小，此时 $M(a,b)$ 的最小值为 $\dfrac{1}{4}$．
有了上面的过程，严格说明就比较容易：因为$$f(0)=|b|,f(1)=|a+b-1|,f(4)=|4a+b-2|,$$有$$8M(a,b)\geqslant 3f(0)+4f(1)+f(4)\geqslant |3b-4(a+b-1)+(4a+b-2)|=2.$$所以 $M(a,b)\geqslant \dfrac 14$，当 $a=\dfrac 12,b=\dfrac 14$ 时取到等号．
首先，任意一条与抛物线段 $E$ 无公共点的线段，都可以通过平移使其与抛物线段 $E$ 有公共点，并且在此过程中 $M(a,b)$ 变小，如图．
接下来，将与抛物线段 $E$ 有公共点的线段的斜率调整到 $\dfrac{1}{2}$，在调整过程中，$M(a,b)$ 变小或不变，如图．最后，在斜率为 $\dfrac{1}{2}$，且位于抛物线段 $E$ 的切线（$y=\dfrac 12x+\dfrac 12$）和割线（$y=\dfrac 12x$）之间的线段中，位于居中位置的 $y=\dfrac 12x+\dfrac 14$ 使得 $M(a,b)$ 最小，此时 $M(a,b)$ 的最小值为 $\dfrac{1}{4}$．有了上面的过程，严格说明就比较容易：因为$$f(0)=|b|,f(1)=|a+b-1|,f(4)=|4a+b-2|,$$有$$8M(a,b)\geqslant 3f(0)+4f(1)+f(4)\geqslant |3b-4(a+b-1)+(4a+b-2)|=2.$$所以 $M(a,b)\geqslant \dfrac 14$，当 $a=\dfrac 12,b=\dfrac 14$ 时取到等号．
答案
解析
备注
