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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15552 596316583cafba000ac43e17 高中 解答题 自招竞赛 $20$ 个巫师孤岛聚会．在这期间，任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师．证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其他九个巫师的诅咒． 2022-04-17 19:42:14
15539 5963328d3cafba0009670db4 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 11$ 是一正整数，由不大于 $n$ 的连续 $10$ 个正整数的和组成集合 $A$，由不大于 $n$ 的连续 $11$ 个正整数的和组成集合 $B$．若 $A\cap B$ 的元素个数是 $181$，求 $n$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:35:14
15526 596342c13cafba000ac44006 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是一个 $3\times 9$ 的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称 $A$ 中的一个 $m\times n(1\leqslant m\leqslant 3,1\leqslant n\leqslant 9)$ 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为 $10$ 的倍数．称 $A$ 中的一个 $1\times 1$ 的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求 $A$ 中“坏格”个数的最大值． 2022-04-17 19:26:14
15516 596490e522a5da000a7a8995 高中 解答题 自招竞赛 将边长为 $3$ 的正 $\triangle{ABC}$ 的各边三等分，过每个分点分别作另外两边的平行线，称 $\triangle{ABC}$ 的顶点及 $\triangle{ABC}$ 和这些平行线所交的 $7$ 个点和为格点．若在这 $10$ 个格点中任取 $n$ 个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形（包括正三角形），求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 19:20:14
15510 5965bc10b3b3480007575960 高中 解答题 自招竞赛 已知一凸 $n$ 边形的任意相邻两个内角的差都是 $20^{\circ}$．试求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 19:17:14
15500 5966fec1030398000abf1568 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{1,2,3,\cdots,100\}$．求最大的整数 $k$，使得 $S$ 有 $k$ 个互不相同的非空子集，具有性质：对这 $k$ 个子集中任意两个不同子集，若它们的交集非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同． 2022-04-17 19:13:14
15499 59672d5b030398000978b350 高中 解答题 自招竞赛 有七种颜色的珍珠，共计 $14$ 颗，其中每种颜色的珍珠各两颗；今把这些珍珠分装于七个珠盒中，使得每个珠盒中各有一对不同颜色的珍珠． 2022-04-17 19:13:14
15489 596875db22d14000091d7210 高中 解答题 自招竞赛 集合 $A\subseteq\mathbb R$，$\mathbb A$ 是 $A$ 的所有子集所组成的集合．若 $A$ 满足：对任意的映射 $f:\mathbb A\mapsto\mathbb A$，总存在 $X\in\mathbb A$，有$$\underbrace{f\left(f\left(\cdots\left(f\left(X\right)\right)\cdots\right)\right)}_{2^n}\ne A-X,$$这里 $A-X$ 表示 $A$ 的子集 $X$ 的补集，$n$ 为给定的正整数．试求所有满足上述条件的集合 $A$． 2022-04-17 19:06:14
15488 59687c2822d140000818161a 高中 解答题 自招竞赛 证明：对每个正整数 $n$，存在正整数 $p(n)$，使得能将前 $p(n)$ 个正整数所排成的数列 $1,2,\cdots,p(n)$ 顺次分成为这样的 $n$ 段，其中每一段中的个数之和都是平方数． 2022-04-17 19:06:14
15467 596d5f7577128b000aceeaba 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 项正整数列 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的各项之和为 $2009$，如果这 $n$ 个数既可分为和相等的 $41$ 个组，又可分为和相等的 $49$ 个组，求 $n$ 的最小值． 2022-04-17 19:56:13
15464 596d6d5077128b0009c08b67 高中 解答题 自招竞赛 已知凸九边形的任意 $5$ 个内角的正弦与其余 $4$ 个内角的余弦之和都等于某个常数值 $\lambda $．若九个内角中有一个角等于 $120^{\circ}$，试求常数 $\lambda$ 的值． 2022-04-17 19:55:13
15446 5975aacf6b0745000705b963 高中 解答题 自招竞赛 假设平面点集 $S$ 具有性质：（i）任意三点不共线；（ii）任意两点距离各不相等．对于 $S$ 中两点 $A,B$，若存在 $C\in S$ 使得 $|AC|<|AB|<|BC|$，则称 $AB$ 是 $S$ 的一条中边．对于 $S$ 中三点 $A,B,C$，若 $AB,AC,BC$ 都是 $S$ 的中边，则称 $\triangle{ABC}$ 是 $S$ 的中边三角形．求最小的 $n$ 使得任意具有性质（i）和（ii）的 $n$ 元平面点集 $S$ 中一定存在中边三角形． 2022-04-17 19:45:13
15432 59799b060a41cd000ac58d81 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是一些互不相同的 $4$ 元数组 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 的集合，其中 $a_i=0$ 或 $1$，$i=1,2,3,4$．已知 $S$ 的元素个数不超过 $15$ 且满足：若 $(a_1,a_2,a_3,a_4),(b_1,b_2,b_3,b_4) \in S$，则$$(\max\{a_1,b_1\},\max\{a_2,b_2\},\max\{a_3,b_3\},\max\{a_4,b_4\}) \in S$$且$$(\min\{a_1,b_1\},\min\{a_2,b_2\},\min\{a_3,b_3\},\min\{a_4,b_4\} ) \in S,$$求 $S$ 的元素个数的最大值． 2022-04-17 19:38:13
15424 597ad3320a41cd00072471af 高中 解答题 自招竞赛 将凸 $n$ 边形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形．对 $k=1,2,\cdots,n$，记 $b_k$ 是由顶点 $A_k$ 引出的蓝色边的条数，求证：$$b_1+b_2+\cdots+b_n \leqslant \dfrac {n^2}{2}.$$ 2022-04-17 19:33:13
15407 597ea006d05b90000addb376 高中 解答题 高中习题 对于一个 $n$（$n \geqslant 3$）元点集，$n$ 个点不全在一条直线上．求证：一定存在某两个点，连接它们的直线上不存在 $n$ 元点集中的其他点（其逆否命题为“对于一个 $n$ 元点集，若其中任意两点连线上还存在其他点，则这 $n$ 个点共线”．）． 2022-04-17 19:23:13
15406 597ea147d05b9000091651cf 高中 解答题 高中习题 有 $100$ 个集装箱里面有 $200$ 个货物，在取出来的过程中货物的顺序被打乱了．现在将他们按一定的规则重新装入集装箱中．将货物依次取出，依次放入集装箱中，集装箱的体积都是 $1$，且每个集装箱最多放两个货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把第二个货物放到下个集装箱中．比如原来有2个集装箱中的货物体积是 $\left( {0.5 , 0.5} \right)$，$\left( {0.7 , 0.3} \right)$，被打算顺序后为 $0.5 , 0.7 , 0.5 , 0.3$，那么就需要 $3$ 个集装箱去装它们．问在最坏的情况下需要多少个集装箱才能将所有的货物装完？ 2022-04-17 19:22:13
15392 5986e62d5ed01a000ba75b6e 高中 解答题 自招竞赛 是否存在四个正实数，使其两两乘积为 $2,3,5,6,10,16$？ 2022-04-17 19:14:13
15388 59881d385ed01a00098494e3 高中 解答题 自招竞赛 将 $3k$（$k$ 为正整数）个石子分成五堆．如果通过每次从其中 $3$ 堆中各取走一个石子，而最后取完．则称这样的分法是“和谐的”．试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明． 2022-04-17 19:12:13
15381 59890d825ed01a000ad799c4 高中 解答题 自招竞赛 正 $100$ 边形 $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{100}$ 的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点． 2022-04-17 19:08:13
15375 59891f116f55a5000823db66 高中 解答题 自招竞赛 从 $0,1,2,\cdots,10$ 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”．
试问：图1和图2两种形状的图是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由．		 2022-04-17 19:04:13
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