已知凸九边形的任意 $5$ 个内角的正弦与其余 $4$ 个内角的余弦之和都等于某个常数值 $\lambda $．若九个内角中有一个角等于 $120^{\circ}$，试求常数 $\lambda$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省预赛（初赛）
【标注】
【答案】
$1-\dfrac{\sqrt 3}{2}$
【解析】
九个内角中任意选 $5$ 个，记为 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，余下 $4$ 个记为 $y_1,y_2,y_3,y_4$．
由题意\[\lambda =\sin x_1+\sin x_2+\sin x_3+\sin x_4+\sin x_5+\cos y_1+\cos y_2+\cos y_3+\cos y_4,\]且\[\lambda =\sin y_1+\sin x_2+\sin x_3+\sin x_4+\sin x_5+\cos x_1+\cos y_2+\cos y_3+\cos y_4,\]所以\[\sin x_1+\cos y_1=\sin y_1+\cos x_1\]即\[\sin x_1-\cos x_1=\sin y_1-\cos y_1,\]所以\[\sqrt 2\sin (x_1-45^{\circ})=\sqrt 2\sin (y_1-45^{\circ}),\]又 $0^{\circ}<x_1,y_1<180^{\circ}$，则\[y_1=x_1 \lor y_1-45^{\circ}=180^{\circ}-(x_1-45^{\circ}).\]不妨设 $y_1=120^{\circ}$，则 $x_1=120^{\circ}$ 或 $150^\circ$，可知九个角的度数只有两种，$120^{\circ}$ 和 $150^{\circ}$．
设有 $k$ 个 $120^{\circ}$，$9-k$ 个 $150^{\circ}$，则\[k\cdot 120^{\circ}+(9-k)\cdot 150^{\circ}=(9-2)\cdot 180^{\circ},\]所以 $k=3$．
因此$$\lambda =5\sin 150^{\circ}+\cos 150^{\circ}+3\cos 120^{\circ}=1-\dfrac{\sqrt 3}{2}.$$
由题意\[\lambda =\sin x_1+\sin x_2+\sin x_3+\sin x_4+\sin x_5+\cos y_1+\cos y_2+\cos y_3+\cos y_4,\]且\[\lambda =\sin y_1+\sin x_2+\sin x_3+\sin x_4+\sin x_5+\cos x_1+\cos y_2+\cos y_3+\cos y_4,\]所以\[\sin x_1+\cos y_1=\sin y_1+\cos x_1\]即\[\sin x_1-\cos x_1=\sin y_1-\cos y_1,\]所以\[\sqrt 2\sin (x_1-45^{\circ})=\sqrt 2\sin (y_1-45^{\circ}),\]又 $0^{\circ}<x_1,y_1<180^{\circ}$，则\[y_1=x_1 \lor y_1-45^{\circ}=180^{\circ}-(x_1-45^{\circ}).\]不妨设 $y_1=120^{\circ}$，则 $x_1=120^{\circ}$ 或 $150^\circ$，可知九个角的度数只有两种，$120^{\circ}$ 和 $150^{\circ}$．
设有 $k$ 个 $120^{\circ}$，$9-k$ 个 $150^{\circ}$，则\[k\cdot 120^{\circ}+(9-k)\cdot 150^{\circ}=(9-2)\cdot 180^{\circ},\]所以 $k=3$．
因此$$\lambda =5\sin 150^{\circ}+\cos 150^{\circ}+3\cos 120^{\circ}=1-\dfrac{\sqrt 3}{2}.$$
答案
解析
备注
