从 $0,1,2,\cdots,10$ 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”．
试问：图1和图2两种形状的图是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由．
试问：图1和图2两种形状的图是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
2013年浙江省高中数学竞赛（二试）
【标注】
【答案】
图1“填法”完美，图2不存在完美填法
【解析】
对图1，上述填法即为完美（填法不唯一）．
对于图2不存在完美填法．因为图中一共有 $10$ 条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为 $1,2,3,\cdots,10$，其和\[s=|a_{1}-a_{2}|+|a_{1}-a_{3}|+|a_{2}-a_{3}|+\cdots+|a_{7}-a_{8}|=55\]为奇数．另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条．即每一个圆圈内的数在上述 $S$ 的表达式中出现偶数次．因此 $S$ 应为偶数，矛盾．
所以不存在完美填法．
对于图2不存在完美填法．因为图中一共有 $10$ 条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为 $1,2,3,\cdots,10$，其和\[s=|a_{1}-a_{2}|+|a_{1}-a_{3}|+|a_{2}-a_{3}|+\cdots+|a_{7}-a_{8}|=55\]为奇数．另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条．即每一个圆圈内的数在上述 $S$ 的表达式中出现偶数次．因此 $S$ 应为偶数，矛盾．
所以不存在完美填法．
答案
解析
备注
