已知一凸 $n$ 边形的任意相邻两个内角的差都是 $20^{\circ}$．试求 $n$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江苏省复赛（二试）
【标注】
【答案】
$34$
【解析】
① 证明 $n$ 为偶数．
记凸 $n$ 边形为 $A_1A_2\cdots A_n$，则$$A_2=A_1\pm 20^{\circ},A_3=A_2\pm 20^{\circ}= A_1\pm 20^{\circ}\pm 20^{\circ},\cdots,\\A_k=A_1\pm 20^{\circ} \pm 20^{\circ}\pm \cdots \pm 20^{\circ}=A_1+p_k 20^{\circ}-q_k 20^{\circ},$$其中 $p_k$ 为“$+$”号的个数，$q_k$ 为“$-$”号的个数，且 $p_k+q_k=k-1$．
上式中令 $k=n+1$，即知\[\begin{split}A_{n+1}&=A_1+p_{n+1}20^{\circ}-q_{n+1} 20^{\circ}\\&=A_1+p_{n+1}20^{\circ}-(n-p_{n+1}) 20^{\circ}\\&=A_1,\end{split}\]得 $p_{n+1}=n-p_{n+1}$，即$$n=2p_{n+1},$$所以 $n$ 为偶数．
② 证明 $n \leqslant 34$．
设 $n$ 个内角中最大的为 $x$，则所有内角中至少还应包括另一个角 $x-20^{\circ}$，且所有内角中任意相邻的两个角不相同，且其和不超过 $2x-20^{\circ}$，即平均不超过 $x-10^{\circ}$，故有$$(n-2)\cdot 180^{\circ}=A_1+A_2+\cdots +A_n \leqslant n(x-10^{\circ}),$$即$$nx \geqslant (n-2)\cdot 180^{\circ}+n\cdot 10^{\circ}.$$因为 $x<180^{\circ}$，所以$$n\cdot 180^{\circ}>nx \geqslant (n-2)\cdot 180^{\circ}+n\cdot 10^{\circ},$$从而 $n<36$．
又因为 $n$ 为偶数，所以 $n \leqslant 34$．
③ 证明 $n=34$ 能取到．
不妨设凸 $34$ 边形内角中只有两个值 $x$ 和 $x-20^{\circ}$，它们相间出现，各为一半，有$$17(2x-20^{\circ})=32\times 180^{\circ},$$得$$x=\dfrac {3050^{\circ}}{17} <180^{\circ},x-20^{\circ}>0,$$所以存在满足条件的凸 $34$ 边形．
由 ①②③ 可知，$n$ 的最大值为 $34$．
记凸 $n$ 边形为 $A_1A_2\cdots A_n$，则$$A_2=A_1\pm 20^{\circ},A_3=A_2\pm 20^{\circ}= A_1\pm 20^{\circ}\pm 20^{\circ},\cdots,\\A_k=A_1\pm 20^{\circ} \pm 20^{\circ}\pm \cdots \pm 20^{\circ}=A_1+p_k 20^{\circ}-q_k 20^{\circ},$$其中 $p_k$ 为“$+$”号的个数，$q_k$ 为“$-$”号的个数，且 $p_k+q_k=k-1$．
上式中令 $k=n+1$，即知\[\begin{split}A_{n+1}&=A_1+p_{n+1}20^{\circ}-q_{n+1} 20^{\circ}\\&=A_1+p_{n+1}20^{\circ}-(n-p_{n+1}) 20^{\circ}\\&=A_1,\end{split}\]得 $p_{n+1}=n-p_{n+1}$，即$$n=2p_{n+1},$$所以 $n$ 为偶数．
② 证明 $n \leqslant 34$．
设 $n$ 个内角中最大的为 $x$，则所有内角中至少还应包括另一个角 $x-20^{\circ}$，且所有内角中任意相邻的两个角不相同，且其和不超过 $2x-20^{\circ}$，即平均不超过 $x-10^{\circ}$，故有$$(n-2)\cdot 180^{\circ}=A_1+A_2+\cdots +A_n \leqslant n(x-10^{\circ}),$$即$$nx \geqslant (n-2)\cdot 180^{\circ}+n\cdot 10^{\circ}.$$因为 $x<180^{\circ}$，所以$$n\cdot 180^{\circ}>nx \geqslant (n-2)\cdot 180^{\circ}+n\cdot 10^{\circ},$$从而 $n<36$．
又因为 $n$ 为偶数，所以 $n \leqslant 34$．
③ 证明 $n=34$ 能取到．
不妨设凸 $34$ 边形内角中只有两个值 $x$ 和 $x-20^{\circ}$，它们相间出现，各为一半，有$$17(2x-20^{\circ})=32\times 180^{\circ},$$得$$x=\dfrac {3050^{\circ}}{17} <180^{\circ},x-20^{\circ}>0,$$所以存在满足条件的凸 $34$ 边形．
由 ①②③ 可知，$n$ 的最大值为 $34$．
答案
解析
备注
