将边长为 $3$ 的正 $\triangle{ABC}$ 的各边三等分，过每个分点分别作另外两边的平行线，称 $\triangle{ABC}$ 的顶点及 $\triangle{ABC}$ 和这些平行线所交的 $7$ 个点和为格点．若在这 $10$ 个格点中任取 $n$ 个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形（包括正三角形），求 $n$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
设 $AB$ 边上从 $A$ 到 $B$ 的两个等分点分别为 $D,E$；$BC$ 边上从 $B$ 到 $C$ 的两个等分点分别为 $F,G$；$CA$ 边上从 $C$ 到 $A$ 的两个等分点分别为 $H,I$，中间的一个格点为 $K$．
若 $n$ 的最小值为 $4$，取格点 $A,D,E,B$，则不存在三个格点能构成一个等腰三角形，因此 $n\geqslant 5$．
下面证明任取 $5$ 个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形．
不妨假设被选取的点为红点，我们证明一定存在一个由红点构成的等腰三角形．
若这 $5$ 个红点中包含格点 $K$，将其他 $9$ 个格点分成三个点集$$L=\{D,E,F\},M=\{G,H,I\},N=\{A,B,C\},$$由抽屉原理，一定存在一个点集中包含至少两个红点．无论是哪个点集中的哪两个格点是红点，均与红点 $K$ 构成一个等腰三角形．
若这 $5$ 个红点中不包含格点 $K$，当格点 $A$ 是红点时，则$$U=\{D,I\},V=\{E,H\},W=\{F,G\},T=\{B,C\}$$中如果有一个点集中包含两个红点，则结论成立；否则每个点集中均恰有一个红点．
不妨假设 $D$ 为红点，则 $I$ 不是红点．
若 $B$ 为红点，则 $G,C$ 不是红点，于是 $F$ 是红点，且无论 $E,H$ 哪个是红点，均与 $D,F$ 构成一个等腰三角形；
若 $B$ 不是红点，则 $C$ 为红点，于是 $E$ 不是红点，$H$ 是红点，无论 $F,G$ 哪个是红点，均可与 $D,H$ 或 $H,C$ 构成一个等腰三角形．
同理若格点 $B$ 或 $C$ 为红点时，结论仍然成立．
若 $K,A,B,C$ 均不是红点，则 $D,E,F,G,H,I$ 中有 $5$ 个红点，结论显然成立．
若 $n$ 的最小值为 $4$，取格点 $A,D,E,B$，则不存在三个格点能构成一个等腰三角形，因此 $n\geqslant 5$．
下面证明任取 $5$ 个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形．
不妨假设被选取的点为红点，我们证明一定存在一个由红点构成的等腰三角形．
若这 $5$ 个红点中包含格点 $K$，将其他 $9$ 个格点分成三个点集$$L=\{D,E,F\},M=\{G,H,I\},N=\{A,B,C\},$$由抽屉原理，一定存在一个点集中包含至少两个红点．无论是哪个点集中的哪两个格点是红点，均与红点 $K$ 构成一个等腰三角形．
若这 $5$ 个红点中不包含格点 $K$，当格点 $A$ 是红点时，则$$U=\{D,I\},V=\{E,H\},W=\{F,G\},T=\{B,C\}$$中如果有一个点集中包含两个红点，则结论成立；否则每个点集中均恰有一个红点．
不妨假设 $D$ 为红点，则 $I$ 不是红点．
若 $B$ 为红点，则 $G,C$ 不是红点，于是 $F$ 是红点，且无论 $E,H$ 哪个是红点，均与 $D,F$ 构成一个等腰三角形；
若 $B$ 不是红点，则 $C$ 为红点，于是 $E$ 不是红点，$H$ 是红点，无论 $F,G$ 哪个是红点，均可与 $D,H$ 或 $H,C$ 构成一个等腰三角形．
同理若格点 $B$ 或 $C$ 为红点时，结论仍然成立．
若 $K,A,B,C$ 均不是红点，则 $D,E,F,G,H,I$ 中有 $5$ 个红点，结论显然成立．
答案
解析
备注
