正 $100$ 边形 $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{100}$ 的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江苏复赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
记正 $100$ 边形 $A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{100}$ 的外接圆半径为 $r$．把顶点分为 $25$ 个点集：$\{A_{4k-3},A_{4k-2},A_{4k-1},A_{4k}\}$，$k=1,2,\cdots,25$．
每个点集中 $4$ 点染 $3$ 色，至少有两点同色，此两点为端点的劣弧长分别为 $\dfrac{\pi r}{50},\dfrac{2\pi r}{50},\dfrac{3\pi r}{50}$ 之一．弧长为 $\dfrac{\pi r}{50},\dfrac{2\pi r}{50},\dfrac{3\pi r}{50}$，且两端同色的弧长共有 $9$ 种．前 $10$ 个点集至少存在 $10$ 段此类弧．
故总有两段“同种”，且均在某直径一侧，所以此两端弧四个端点构成的四边形为等腰梯形．
每个点集中 $4$ 点染 $3$ 色，至少有两点同色，此两点为端点的劣弧长分别为 $\dfrac{\pi r}{50},\dfrac{2\pi r}{50},\dfrac{3\pi r}{50}$ 之一．弧长为 $\dfrac{\pi r}{50},\dfrac{2\pi r}{50},\dfrac{3\pi r}{50}$，且两端同色的弧长共有 $9$ 种．前 $10$ 个点集至少存在 $10$ 段此类弧．
故总有两段“同种”，且均在某直径一侧，所以此两端弧四个端点构成的四边形为等腰梯形．
答案
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